Analytische Geometrie-Vektorrechung in der Ebene-Skalarprodukt - Fläche - Winkel



Beispiel Nr: 02
$ \text{Gegeben:} \\ \text{Vektoren: } \vec{A} =\left( \begin{array}{c} x_a \\ y_a \\ \end{array} \right) \quad \vec{B} =\left( \begin{array}{c} x_b \\ y_b \\ \end{array} \right) \\ \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Länge der Vektoren:} \\ \text{Fläche des Parallelogramms} \\ \text{Skalarprodukt} \\ \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Vektor: } \vec{A} =\left( \begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ \end{array} \right) \quad \vec{B} =\left( \begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ \end{array} \right) \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Vektoren: } \vec{a} =\left( \begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ \end{array} \right) \quad \vec{b} =\left( \begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ \end{array} \right) \\ \bullet \text{Steigung} \\ m_s=\dfrac{y_a}{x_a}=\dfrac{2}{-3}=-\frac{2}{3} \\ m_b=\dfrac{y_b}{x_b}=\dfrac{6}{3}=2 \\ \bullet \text{Länge der Vektoren:} \\ \left|\vec{a}\right| =\sqrt{x_a^2+y_a^2}=\sqrt{\left(-3\right)^2+2^2} =3,61 \\ \left|\vec{b}\right| =\sqrt{x_b^2+y_b^2} =\sqrt{3^2+6^2} =6,71 \\ \bullet \text{Skalarprodukt:} \\ \vec{a} \circ \vec{b}==\left( \begin{array}{c} -3 \\ 2 \\ \end{array} \right) \circ \left( \begin{array}{c} 3 \\ 6 \\ \end{array} \right) =-3 \cdot 3 + 2 \cdot 6 = 3 \\ \bullet \text{Fläche des Parallelogramms aus } \vec{a},\vec{b} \\ A= \left| \begin{array}{cc} -3 & 3 \\ 2 & 6 \end{array} \right| = -3 \cdot 6 - 2 \cdot 3 = -24 \\ \text{ Fläche des Dreiecks aus } \vec{a},\vec{b}\\ A=\frac{1}{2} \left| \begin{array}{cc} -3 & 3 \\ 2 & 6 \end{array}\right| =\frac{1}{2}(-3 \cdot 6 - 2 \cdot 3) = -12 \\ \bullet \text{Schnittwinkel:} \\ \cos \alpha= \displaystyle\frac{ \vec{a} \circ \vec{b}}{ \left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right|}\\ \cos \alpha= \dfrac{-3 \cdot 3 + 2 \cdot 6 }{\sqrt{\left(-3\right)^2+2^2}\cdot\sqrt{3^2+6^2}} \\ \cos \alpha= \left|\displaystyle\frac{3}{3,61 \cdot 6,71} \right| \\ \cos \alpha= \left| 0,124 \right| \\ \alpha=82,9 \\ $