$\begin{array}{l} \text{Gegeben:} \\ \text{Ebene: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} a1 \\ a2 \\ a3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b1 \\ b2 \\ b3 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} c1 \\ c2 \\ c3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gesucht:} \text{Ebene in Koordinatenform: } n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3+k=0 \\ \\ \text{Vektorprodukt}\\ \textbf{Gegeben:} \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ -5 \\ \end{array} \right)+ \sigma \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array} \right) \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ -5 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array} \right) \\ \text{Vektorprodukt:} \\ \vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}= \left( \begin{array}{c} -3 \\ 4 \\ -5 \\ \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array} \right) \\= \left( \begin{array}{c} 4 \cdot0-\left(-5\right)\cdot3 \\ -5\cdot2-0\cdot\left(-3\right) \\ -3\cdot3-4\cdot2 \\ \end{array} \right) \\ \vec{n} = \left( \begin{array}{c} 15 \\ -10 \\ -17 \\ \end{array} \right) \\ \text{Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen. } \\ 15 x_1-10 x_2-17 x_3+k=0 \\ \text{Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen. } \\ 15 \cdot 1 -10 \cdot -2-17 \cdot 2 +k=0 \\ k=-1 \\ \text{Koordinatenform} \\ 15 x_1-10 x_2-17 x_3-1=0 \\ \\ 15 x_1 -10 x_2 -17 x_3 -1 = 0 \\ \text{Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF} \\ 15 x_1-10 x_2-17 x_3-1=0 \\ \vec{n} = \left( \begin{array}{c} 15 \\ -10 \\ -17 \\ \end{array} \right) \\ \text{Länge des Normalenvektors} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{15^2+\left(-10\right)^2+\left(-17\right)^2} \\ \left|\vec{n}\right| =24,8 \\ \text{HNF:} \dfrac{15 x_1-10 x_2-17 x_3-1}{24,8}=0 \\ \\ \end{array}$