$\begin{array}{l} \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} \\ \text{Funktion:}f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^2+2x+1}{ 2x^2+2x} \ <br/> \bullet \text{Funktion/Faktorisieren} \\ f\left(x\right)=\displaystyle \frac{ x^2+2x+1}{ 2x^2+2x} \\ \text{Zaehler faktorisieren: } \\ x^2+2x+1 = 0 \\ \\ \\ 1x^{2}+2x+1 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-2 \pm\sqrt{2^{2}-4\cdot 1 \cdot 1}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm\sqrt{0}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm0}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-2 +0}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-2 -0}{2} \\ x_{1}=-1 \qquad x_{2}=-1 \\ \underline{x_1=-1; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\\text{Nenner faktorisieren:} \\ 2x^2+2x = 0 \\ x( 2x+2)=0 \Rightarrow x=0 \quad \vee \quad 2x+2=0\\ 2 x+2 =0 \qquad /-2 \\ 2 x= -2 \qquad /:2 \\ x=\displaystyle\frac{-2}{2}\\ x=-1 \\ \underline{x_2=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_3=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \text{Faktorisierter Term:}\\ f\left(x\right)=\displaystyle\frac{(x+1)^2}{2(x+1)x} \\ \\ \bullet\text{Definitionsbereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R}\setminus \left\{-1;0\right\} \\ \bullet \text{Term gekürzen}\\ f\left(x\right)= \displaystyle\frac{\frac{1}{2}(x+1)}{x}\\ f\left(x\right)= \displaystyle \frac{ \frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}{ x} \\ Polynomdivision:\\\small \begin{matrix} ( \frac{1}{2}x&+\frac{1}{2}&):( x )= \frac{1}{2} \\ \,-( \frac{1}{2}x) \\ \hline & \frac{1}{2}&\\ \end{matrix} \\ \normalsize \\ \\ f(x)= \frac{1}{2}+\frac{ \frac{1}{2}}{ x} \\ \\ \bullet \text{1. Ableitungen und 2.Ableitung} \\f'\left(x\right)=\frac{ \frac{1}{2}\cdot x-( \frac{1}{2}x+\frac{1}{2})\cdot 1}{( x)^2}\\ = \frac{ \frac{1}{2}x-( \frac{1}{2}x+\frac{1}{2})}{( x)^2}\\ = \frac{-\frac{1}{2}}{( x)^2}\\ = \frac{-\frac{1}{2}}{( x)^2}\\ f''\left(x\right)=\frac{0\cdot x^2-(-\frac{1}{2})\cdot 2x}{( x^2)^2}\\ = \frac{0-(-1x)}{( x^2)^2}\\ = \frac{ x}{( x^2)^2}\\ = \frac{ x}{( x^2)^2} \\ =\displaystyle\frac{x}{x^4} \\ =\displaystyle\frac{1}{x^3} \\ =\displaystyle \frac{ 1}{ x^3} \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\Zaehler =0 \\ \frac{1}{2}x+\frac{1}{2} = 0 \\ \underline{x_4=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&0&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;0[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet\text{Grenzwerte und Asymtoten: } \\ \\ \lim\limits_{x \rightarrow \pm\infty}{\displaystyle \frac{x^2( 1+\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{x^2}) }{x^2( 2+\dfrac{2}{x}) }}=\frac{0,5}{1}=\frac{1}{2} \\ \text{Horizontale Asymptote: } y=\frac{1}{2} \\\lim\limits_{x \rightarrow 0^+}{\displaystyle\frac{\frac{1}{2}(x+1)}{x}}=\infty\\ \lim\limits_{x \rightarrow 0^-}{\displaystyle\frac{\frac{1}{2}(x+1)}{x}}=-\infty\\ \\ \text{Vertikale Asymptote (Polstelle): } x=0\\ \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=\displaystyle \frac{-\frac{1}{2}}{ x^2} = 0 \\ \text{keine Loesung} \\ \\ \, \, \\\bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\f'\left(x\right)=\displaystyle \frac{-\frac{1}{2}}{ x^2}\\ \,\text{Zaehler} =0 \\\text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstellen des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_5=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\, \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f'(x)&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }} \\ \\ \bullet\text{Kruemmung} \\f''\left(x\right)=\displaystyle \frac{ 1}{ x^3}\\ \,Zaehler =0 \\\text{keine Loesung} \\\, \\\text{Nullstelle des Nenners aus f(x) übernehmen} \\\underline{x_6=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x\\ \hline f''(x)&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;\infty[\quad f''(x)>0 \quad \text{linksgekrümmt}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad f''(x)<0 \quad \text{rechtsgekrümmt}} \\ Funktionsgraph und Wertetabelle \\ \end{array}$