Beispiel Nr: 04
$ \text{ Gegeben:} \\ \text{ Funktion f(x) } \\ \text{Gesucht:}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Grenzwerte} \\ \text{Symmetrie} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Ableitungen - Stammfunktion} \\ \text{Extremwerte - Monotonie} \\ \text{Wendepunkte - Krümmung} $
$\textbf{Aufgabe:}$ d
$\textbf{Rechnung:}\\ \bullet \text{Funktion/Ableitungen/Stammfunktion} \\ f\left(x\right)=-\frac{1}{3}x^2-2x+3=-\frac{1}{3}(x+7,24)(x-1,24)\\ f'\left(x\right)=-\frac{2}{3}x-2\\ f''\left(x\right)=-\frac{2}{3}\\ F(x)=\int_{}^{}(-\frac{1}{3}x^2-2x+3)dx=-\frac{1}{9}x^3-1x^2+3x+c \\ \\ \bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty,6] \\ \\ \bullet \text{Grenzwerte:} \\ f(x)=x^2(-\frac{1}{3}-\dfrac{2}{x}+\dfrac{3}{x^2}) \\ \lim\limits_{x \rightarrow \infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{3}\cdot \infty^2]=-\infty \\\lim\limits_{x \rightarrow -\infty}{f\left(x\right)}=[-\frac{1}{3}\cdot (-\infty)^2]=-\infty \\ \\ \bullet \text{Symmetrie zum Ursprung oder zur y-Achse } \\f\left(-x\right)=-\frac{1}{3}\cdot (-x)^{2}-2\cdot (-x)+3 \\ \text{keine Symmetrie zur y-Achse und zum Ursprung } \\ \\ \bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\f(x)=-\frac{1}{3}x^2-2x+3 = 0 \\ \\ \\ -\frac{1}{3}x^{2}-2x+3 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+2 \pm\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot 3}}{2\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+2 \pm\sqrt{8}}{-\frac{2}{3}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{2 \pm2,83}{-\frac{2}{3}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{2 +2,83}{-\frac{2}{3}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{2 -2,83}{-\frac{2}{3}} \\ x_{1}=-7,24 \qquad x_{2}=1,24 \\ \underline{x_1=-7,24; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1,24; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-7,24&< x <&1,24&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-7,24;1,24[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-7,24[\quad \cup \quad]1,24;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}} \\ \\ \bullet \text{Extremwerte/Hochpunkte/Tiefpunkte:} \\f'(x)=-\frac{2}{3}x-2 = 0 \\ \\ -\frac{2}{3} x-2 =0 \qquad /+2 \\ -\frac{2}{3} x= 2 \qquad /:\left(-\frac{2}{3}\right) \\ x=\displaystyle\frac{2}{-\frac{2}{3}}\\ x=-3 \\ \underline{x_3=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\f''(-3)=-\frac{2}{3} \\ f''(-3)<0 \Rightarrow \underline{\text{Hochpunkt:} (-3/6)} \\ \\ \bullet\text{Monotonie/ streng monoton steigend (sms)/streng monoton fallend (smf) } \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x\\ \hline f'(x)&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad f'(x)>0 \quad \text{streng monoton steigend }}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3;\infty[\quad f'(x)<0 \quad \text{streng monoton fallend }}\\ \\ \bullet\text{Eingeschlossene Fläche mit der x-Achse} \\A=\int_{-7,24}^{1,24}\left(-\frac{1}{3}x^2-2x+3\right)dx=\left[-\frac{1}{9}x^3-1x^2+3x\right]_{-7,24}^{1,24} \\ =\left(-\frac{1}{9}\cdot 1,24^{3}-1\cdot 1,24^{2}+3\cdot 1,24\right)-\left(-\frac{1}{9}\cdot (-7,24)^{3}-1\cdot (-7,24)^{2}+3\cdot (-7,24)\right) \\ =\left(1,97\right)-\left(-32\right)=33,9 \\ \\ $