Beispiel Nr: 07
$ \text{Gegeben:} \\ \text{Vektoren: } \vec{A} =\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right) \quad \vec{B} =\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\ \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Länge der Vektoren:} \\ \text{Fläche des Parallelogramms} \\ \text{Vektorprodukt} \\ \text{Skalarprodukt} \\ \text{Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren}\\ \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Vektor: } \vec{A} =\left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 7 \\ \end{array} \right) \quad \vec{B} =\left( \begin{array}{c} 0 \\ 9 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Vektoren: } \vec{a} =\left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 7 \\ \end{array} \right) \quad \vec{b} =\left( \begin{array}{c} 0 \\ 9 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \bullet \text{Länge der Vektoren:} \\ \left|\vec{a}\right| =\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \\ \left|\vec{a}\right| =\sqrt{3^2+3^2+7^2} \\ \left|\vec{a}\right| =8,19 \\ \left|\vec{b}\right| =\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2} \\ \left|\vec{b}\right| =\sqrt{0^2+9^2+2^2} \\ \quad \left|\vec{b}\right| =9,22 \\ \bullet \text{Skalarprodukt:} \\ \vec{a} \circ \vec{b}=3 \cdot 0 + 3 \cdot 9 +7 \cdot 2 = 41 \\ \bullet \text{Vektorprodukt:} \\ \vec{a} \times \vec{b}= \left( \begin{array}{c} 3 \cdot2-7\cdot9 \\ 7\cdot0-2\cdot3 \\ 3\cdot9-3\cdot0 \\ \end{array} \right) \\ \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}= \left( \begin{array}{c} -57 \\ -6 \\ 27 \\ \end{array} \right) \\ \bullet \text{Fläche des Parallelogramms} \\ \left|\vec{c}\right| =\sqrt{\left(-57\right)^2+\left(-6\right)^2+27^2} \\ \left|\vec{c}\right| =63,4 \\ \bullet \text{Schnittwinkel:} \\ \cos \alpha= \displaystyle\frac{ \vec{a} \circ \vec{b}}{ \left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right|}\\ \cos \alpha= \left|\displaystyle\frac{41}{8,19 \cdot 9,22} \right| \\ \cos \alpha= \left| 0,543 \right| \\ \alpha=57,1 \\ \bullet \text{Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren}\\ \left( \begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 7 \\ \end{array} \right) =k \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 9 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \begin{array}{cccc} 3&=&0 k & \quad /:0 \quad \Rightarrow k=∞ \\ 3&=&9 k & \quad /:9 \quad \Rightarrow k=\frac{1}{3} \\ 7&=&2 k & \quad /:2 \quad \Rightarrow k=3\frac{1}{2} \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Vektoren sind linear unabhängig - nicht parallel} \\ $