Beispiel Nr: 08
$ \text{Gegeben:} \\ \text{Vektoren: } \vec{A} =\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right) \quad \vec{B} =\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\ \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Länge der Vektoren:} \\ \text{Fläche des Parallelogramms} \\ \text{Vektorprodukt} \\ \text{Skalarprodukt} \\ \text{Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren}\\ \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Vektor: } \vec{A} =\left( \begin{array}{c} 6 \\ 5 \\ 3 \\ \end{array} \right) \quad \vec{B} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 9 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Vektoren: } \vec{a} =\left( \begin{array}{c} 6 \\ 5 \\ 3 \\ \end{array} \right) \quad \vec{b} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 9 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\ \bullet \text{Länge der Vektoren:} \\ \left|\vec{a}\right| =\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \\ \left|\vec{a}\right| =\sqrt{6^2+5^2+3^2} \\ \left|\vec{a}\right| =8,37 \\ \left|\vec{b}\right| =\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2} \\ \left|\vec{b}\right| =\sqrt{1^2+9^2+1^2} \\ \quad \left|\vec{b}\right| =9,11 \\ \bullet \text{Skalarprodukt:} \\ \vec{a} \circ \vec{b}=6 \cdot 1 + 5 \cdot 9 +3 \cdot 1 = 54 \\ \bullet \text{Vektorprodukt:} \\ \vec{a} \times \vec{b}= \left( \begin{array}{c} 5 \cdot1-3\cdot9 \\ 3\cdot1-1\cdot6 \\ 6\cdot9-5\cdot1 \\ \end{array} \right) \\ \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}= \left( \begin{array}{c} -22 \\ -3 \\ 49 \\ \end{array} \right) \\ \bullet \text{Fläche des Parallelogramms} \\ \left|\vec{c}\right| =\sqrt{\left(-22\right)^2+\left(-3\right)^2+49^2} \\ \left|\vec{c}\right| =53,8 \\ \bullet \text{Schnittwinkel:} \\ \cos \alpha= \displaystyle\frac{ \vec{a} \circ \vec{b}}{ \left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right|}\\ \cos \alpha= \left|\displaystyle\frac{54}{8,37 \cdot 9,11} \right| \\ \cos \alpha= \left| 0,708 \right| \\ \alpha=44,9 \\ \bullet \text{Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren}\\ \left( \begin{array}{c} 6 \\ 5 \\ 3 \\ \end{array} \right) =k \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 9 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\ \begin{array}{cccc} 6&=&1 k & \quad /:1 \quad \Rightarrow k=6 \\ 5&=&9 k & \quad /:9 \quad \Rightarrow k=\frac{5}{9} \\ 3&=&1 k & \quad /:1 \quad \Rightarrow k=3 \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Vektoren sind linear unabhängig - nicht parallel} \\ $