Beispiel Nr: 09
$ \text{Gegeben:} \\ \text{Vektoren: } \vec{A} =\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right) \quad \vec{B} =\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\ \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Länge der Vektoren:} \\ \text{Fläche des Parallelogramms} \\ \text{Vektorprodukt} \\ \text{Skalarprodukt} \\ \text{Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren}\\ \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Vektor: } \vec{A} =\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) \quad \vec{B} =\left( \begin{array}{c} 0 \\ 4\frac{1}{2} \\ 1\frac{1}{2} \\ \end{array} \right) \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Vektoren: } \vec{a} =\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) \quad \vec{b} =\left( \begin{array}{c} 0 \\ 4\frac{1}{2} \\ 1\frac{1}{2} \\ \end{array} \right) \\ \bullet \text{Länge der Vektoren:} \\ \left|\vec{a}\right| =\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \\ \left|\vec{a}\right| =\sqrt{2^2+1^2+0^2} \\ \left|\vec{a}\right| =2,24 \\ \left|\vec{b}\right| =\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2} \\ \left|\vec{b}\right| =\sqrt{0^2+\left(4\frac{1}{2}\right)^2+\left(1\frac{1}{2}\right)^2} \\ \quad \left|\vec{b}\right| =4,74 \\ \bullet \text{Skalarprodukt:} \\ \vec{a} \circ \vec{b}=2 \cdot 0 + 1 \cdot 4\frac{1}{2} +0 \cdot 1\frac{1}{2} = 4\frac{1}{2} \\ \bullet \text{Vektorprodukt:} \\ \vec{a} \times \vec{b}= \left( \begin{array}{c} 1 \cdot1\frac{1}{2}-0\cdot4\frac{1}{2} \\ 0\cdot0-1\frac{1}{2}\cdot2 \\ 2\cdot4\frac{1}{2}-1\cdot0 \\ \end{array} \right) \\ \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}= \left( \begin{array}{c} 1\frac{1}{2} \\ -3 \\ 9 \\ \end{array} \right) \\ \bullet \text{Fläche des Parallelogramms} \\ \left|\vec{c}\right| =\sqrt{\left(1\frac{1}{2}\right)^2+\left(-3\right)^2+9^2} \\ \left|\vec{c}\right| =9,6 \\ \bullet \text{Schnittwinkel:} \\ \cos \alpha= \displaystyle\frac{ \vec{a} \circ \vec{b}}{ \left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right|}\\ \cos \alpha= \left|\displaystyle\frac{4\frac{1}{2}}{2,24 \cdot 4,74} \right| \\ \cos \alpha= \left| 0,424 \right| \\ \alpha=64,9 \\ \bullet \text{Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren}\\ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) =k \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4\frac{1}{2} \\ 1\frac{1}{2} \\ \end{array} \right) \\ \begin{array}{cccc} 2&=&0 k & \quad /:0 \quad \Rightarrow k=∞ \\ 1&=&4\frac{1}{2} k & \quad /:4\frac{1}{2} \quad \Rightarrow k=\frac{2}{9} \\ 0&=&1\frac{1}{2} k & \quad /:1\frac{1}{2} \quad \Rightarrow k=0 \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Vektoren sind linear unabhängig - nicht parallel} \\ $