Beispiel Nr: 10
$ \text{Gegeben:} \\ \text{Vektoren: } \vec{A} =\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right) \quad \vec{B} =\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\ \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Länge der Vektoren:} \\ \text{Fläche des Parallelogramms} \\ \text{Vektorprodukt} \\ \text{Skalarprodukt} \\ \text{Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren}\\ \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Vektor: } \vec{A} =\left( \begin{array}{c} 5 \\ 8 \\ 9 \\ \end{array} \right) \quad \vec{B} =\left( \begin{array}{c} 6 \\ 6 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Vektoren: } \vec{a} =\left( \begin{array}{c} 5 \\ 8 \\ 9 \\ \end{array} \right) \quad \vec{b} =\left( \begin{array}{c} 6 \\ 6 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \bullet \text{Länge der Vektoren:} \\ \left|\vec{a}\right| =\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \\ \left|\vec{a}\right| =\sqrt{5^2+8^2+9^2} \\ \left|\vec{a}\right| =13 \\ \left|\vec{b}\right| =\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2} \\ \left|\vec{b}\right| =\sqrt{6^2+6^2+2^2} \\ \quad \left|\vec{b}\right| =8,72 \\ \bullet \text{Skalarprodukt:} \\ \vec{a} \circ \vec{b}=5 \cdot 6 + 8 \cdot 6 +9 \cdot 2 = 96 \\ \bullet \text{Vektorprodukt:} \\ \vec{a} \times \vec{b}= \left( \begin{array}{c} 8 \cdot2-9\cdot6 \\ 9\cdot6-2\cdot5 \\ 5\cdot6-8\cdot6 \\ \end{array} \right) \\ \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}= \left( \begin{array}{c} -38 \\ 44 \\ -18 \\ \end{array} \right) \\ \bullet \text{Fläche des Parallelogramms} \\ \left|\vec{c}\right| =\sqrt{\left(-38\right)^2+44^2+\left(-18\right)^2} \\ \left|\vec{c}\right| =60,9 \\ \bullet \text{Schnittwinkel:} \\ \cos \alpha= \displaystyle\frac{ \vec{a} \circ \vec{b}}{ \left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right|}\\ \cos \alpha= \left|\displaystyle\frac{96}{13 \cdot 8,72} \right| \\ \cos \alpha= \left| 0,845 \right| \\ \alpha=32,4 \\ \bullet \text{Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren}\\ \left( \begin{array}{c} 5 \\ 8 \\ 9 \\ \end{array} \right) =k \cdot \left( \begin{array}{c} 6 \\ 6 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \begin{array}{cccc} 5&=&6 k & \quad /:6 \quad \Rightarrow k=\frac{5}{6} \\ 8&=&6 k & \quad /:6 \quad \Rightarrow k=1\frac{1}{3} \\ 9&=&2 k & \quad /:2 \quad \Rightarrow k=4\frac{1}{2} \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Vektoren sind linear unabhängig - nicht parallel} \\ $