Beispiel Nr: 11
$ \text{Gegeben:} \\ \text{Vektoren: } \vec{A} =\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right) \quad \vec{B} =\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\ \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Länge der Vektoren:} \\ \text{Fläche des Parallelogramms} \\ \text{Vektorprodukt} \\ \text{Skalarprodukt} \\ \text{Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren}\\ \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Vektor: } \vec{A} =\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array} \right) \quad \vec{B} =\left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Vektoren: } \vec{a} =\left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array} \right) \quad \vec{b} =\left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \bullet \text{Länge der Vektoren:} \\ \left|\vec{a}\right| =\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2} \\ \left|\vec{a}\right| =\sqrt{2^2+3^2+1^2} \\ \left|\vec{a}\right| =3,74 \\ \left|\vec{b}\right| =\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2} \\ \left|\vec{b}\right| =\sqrt{4^2+6^2+2^2} \\ \quad \left|\vec{b}\right| =7,48 \\ \bullet \text{Skalarprodukt:} \\ \vec{a} \circ \vec{b}=2 \cdot 4 + 3 \cdot 6 +1 \cdot 2 = 28 \\ \bullet \text{Vektorprodukt:} \\ \vec{a} \times \vec{b}= \left( \begin{array}{c} 3 \cdot2-1\cdot6 \\ 1\cdot4-2\cdot2 \\ 2\cdot6-3\cdot4 \\ \end{array} \right) \\ \vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) \\ \bullet \text{Fläche des Parallelogramms} \\ \left|\vec{c}\right| =\sqrt{0^2+0^2+0^2} \\ \left|\vec{c}\right| =0 \\ \bullet \text{Schnittwinkel:} \\ \cos \alpha= \displaystyle\frac{ \vec{a} \circ \vec{b}}{ \left|\vec{a}\right| \cdot \left|\vec{b}\right|}\\ \cos \alpha= \left|\displaystyle\frac{28}{3,74 \cdot 7,48} \right| \\ \cos \alpha= \left| 1 \right| \\ \alpha=0 \\ \bullet \text{Lineare Abhängigkeit von 2 Vektoren}\\ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \\ \end{array} \right) =k \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 6 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \begin{array}{cccc} 2&=&4 k & \quad /:4 \quad \Rightarrow k=\frac{1}{2} \\ 3&=&6 k & \quad /:6 \quad \Rightarrow k=\frac{1}{2} \\ 1&=&2 k & \quad /:2 \quad \Rightarrow k=\frac{1}{2} \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Vektoren sind linear abhängig - parallel}\\ $