Beispiel Nr: 44
$ \text{Gegeben:}\\ \text{Seite-Seite-Seite (SSS): }a-b-c \\ \text{Seite-Winkel-Seite (SWS): } a-b-\gamma , a-c-\beta , b-c-\alpha \\ \text{Seite-Seite-Winkel(SsW): }a-b-\alpha ,a-b-\beta , a-c-\alpha, a-c-\gamma, b-c-\beta, b-c-\gamma \\ \text{Winkel-Winkel-Seite (WWS,WSW): } c-\beta-\gamma,a-\alpha-\beta ,a-\alpha-\gamma,a-\beta-\gamma,b-\alpha-\beta ,b-\alpha-\gamma,b-\beta-\gamma,c-\alpha-\beta ,c-\alpha-\gamma \\ \text{Gesucht:} \\ \text{- alle Winkel und alle Seiten} \\ \text{- Fläche } \\ \text{- Umfang} \\ \text{- Höhen,Seitenhalbierende,Winkelhalbierende} \\ \text{- Inn- und Umkreisradius} \\ \text{Eingabe:} \\ \text{Nur drei Eingaben können ungleich Null sein.} \\ \text{Ausgabe der Grafik nur im PDF-Format.}\\ \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ b=3\frac{1}{2} \qquad c=4\frac{1}{2} \qquad \gamma=70 \qquad \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\text{Seite-Seite-Winkel}\\ b=3\frac{1}{2}\quad c=4\frac{1}{2}\quad \gamma=70^\circ\\ \\ \text{Sinus-Satz: } \displaystyle \frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma } \\ \displaystyle \frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma } \qquad / \cdot \sin\beta \qquad / \cdot \sin\gamma \\ b\cdot \sin\gamma=c\cdot \sin \beta \qquad /:c \\ \sin \beta =\displaystyle\frac{b\cdot \sin\gamma }{c } \\ \sin \beta =\displaystyle\frac{3\frac{1}{2}\cdot \sin\wgamma }{4\frac{1}{2} } \\ \sin \beta =0,731 \\ \beta=\arcsin(0,731) \\ \beta=47^\circ \\ \text{Winkelsumme:} \alpha + \beta + \gamma =180^\circ\\ \alpha + \beta + \gamma =180 \qquad /-\alpha \qquad /-\gamma \\ \alpha =180^\circ -\beta - \gamma \\ \alpha =180^\circ -47^\circ - 70^\circ \\ \alpha =63^\circ \\ \text{Kosinus-Satz:} a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c \cdot \cos\alpha \\ a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c \cdot \cos\alpha \\ a=\sqrt{b^2+c^2-2\cdot b \cdot c \cdot \cos\alpha} \\ a=\sqrt{3\frac{1}{2}^2+4\frac{1}{2}^2-2\cdot 3\frac{1}{2} \cdot 4\frac{1}{2} \cdot \cos63^\circ} \\ a=4,27 \\ \text{Umfang: } U=a+b+c \\ U=4,27+3\frac{1}{2}+4\frac{1}{2} \\ U=12,3 \\ \text{Höhe: } h_a \\ \sin\beta= \displaystyle \frac{h_a}{c} \\ \sin\beta= \displaystyle \frac{h_a}{c} \quad /\cdot c\\ h_a =c \cdot \sin\beta \\ h_a =4\frac{1}{2} \cdot \sin47^\circ \\ h_a=3,29 \\ \text{Flaeche: } \quad A = \frac{1}{2}\cdot a \cdot h_a \\ A = \frac{1}{2}\cdot 4,27 \cdot 3,29 \\ A=7,02 \\ \text{Höhe: } h_b \\ \sin\gamma= \displaystyle \frac{h_b}{a} \\ \sin\gamma= \displaystyle \frac{h_b}{a} \quad /\cdot a\\ h_b =a \cdot \sin\gamma \\ h_b =4,27 \cdot \sin70^\circ \\ h_b=4,01 \\ \text{Höhe: } h_c \\ \sin\alpha= \displaystyle \frac{h_c}{b} \\ \sin\alpha= \displaystyle \frac{h_c}{b} \quad / \cdot b\\ h_c=b \cdot \sin\alpha \\ h_c=3\frac{1}{2} \cdot \sin63^\circ \\ h_c=3,12 \\ \text{Winkelhalbierende: }\alpha \\ \delta=180-\beta-\frac{\alpha}{2} \\ \text{Sinus-Satz:} \displaystyle \frac{wha}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\delta } \\ \displaystyle \frac{wha}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin\delta }\qquad /\cdot \sin\beta \\ wha=\displaystyle\frac{c \cdot \sin\beta}{ \sin\delta } \\ wha =\displaystyle\frac{4\frac{1}{2}\cdot \sin47 }{ \sin102} \\ wha=3,36 \\ \text{Winkelhalbierende: }\beta \\ \delta=180-\frac{\beta}{2}-\gamma \\ \text{Sinus-Satz:} \displaystyle \frac{whb}{\sin\gamma}=\frac{a}{\sin\delta } \\ \displaystyle \frac{whb}{\sin \gamma}=\frac{a}{\sin\delta }\qquad /\cdot \sin\gamma \\ whb=\displaystyle\frac{a \cdot \sin\gamma}{ \sin\delta } \\ whb =\displaystyle\frac{4,27\cdot \sin70 }{ \sin86,5} \\ whb=4,02 \\ \text{Winkelhalbierende: }\gamma \\ \delta=180-\alpha-\frac{\gamma}{2} \\ \text{Sinus-Satz:} \displaystyle \frac{whc}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\delta } \\ \displaystyle \frac{whc}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin\delta }\qquad /\cdot \sin\alpha \\ whc=\displaystyle\frac{b \cdot \sin\alpha}{ \sin\delta } \\ whc =\displaystyle\frac{3\frac{1}{2}\cdot \sin63 }{ \sin102} \\ whc=3,88 \\ \text{Seitenhalbierende: } \\ s_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2} \\ s_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(3\frac{1}{2}^2+4\frac{1}{2}^2)-4,27^2} \\ s_a=3,42 \\ \text{Seitenhalbierende: } s_b=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}\\ s_b=\frac{1}{2}\sqrt{2(4,27^2+4\frac{1}{2}^2)-3\frac{1}{2}^2}\\ s_b=4,02 \\ \text{Seitenhalbierende: } s_c=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}\\ s_c=\frac{1}{2}\sqrt{2(4,27^2+3\frac{1}{2}^2)-4\frac{1}{2}^2}\\ s_c=3,49 \\ \text{Umkreisradius: } 2\cdot r_u= \displaystyle \frac{a}{\sin\alpha} \\ r_u =\displaystyle\frac{a}{2\cdot\sin\alpha} \\ r_u =\displaystyle\frac{4,27}{2\cdot\sin63^\circ} \\ r_u=2,39 \\ \text{Innkreisradius: }r_i= \displaystyle \frac{2 \cdot A}{U} \\ r_i= \displaystyle \frac{2 \cdot 7,02}{12,3} \\ r_i=1,14 \\$