Beispiel Nr: 87
$ \text{Gegeben:}\\ \text{Seite-Seite-Seite (SSS): }a-b-c \\ \text{Seite-Winkel-Seite (SWS): } a-b-\gamma , a-c-\beta , b-c-\alpha \\ \text{Seite-Seite-Winkel(SsW): }a-b-\alpha ,a-b-\beta , a-c-\alpha, a-c-\gamma, b-c-\beta, b-c-\gamma \\ \text{Winkel-Winkel-Seite (WWS,WSW): } c-\beta-\gamma,a-\alpha-\beta ,a-\alpha-\gamma,a-\beta-\gamma,b-\alpha-\beta ,b-\alpha-\gamma,b-\beta-\gamma,c-\alpha-\beta ,c-\alpha-\gamma \\ \text{Gesucht:} \\ \text{- alle Winkel und alle Seiten} \\ \text{- Fläche } \\ \text{- Umfang} \\ \text{- Höhen,Seitenhalbierende,Winkelhalbierende} \\ \text{- Inn- und Umkreisradius} \\ \text{Eingabe:} \\ \text{Nur drei Eingaben können ungleich Null sein.} \\ \text{Ausgabe der Grafik nur im PDF-Format.}\\ \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ a=4 \qquad b=5 \qquad c=6 \qquad \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\text{Seite-Seite-Seite }\\ a=4\quad b=5\quad c=6\\ \\ \text{Umfang: } U=a+b+c \\ U=4+5+6 \\ U=15 \\ \text{Kosinus-Satz: } a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c \cdot \cos\alpha \\ a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c \cdot \cos\alpha \qquad /-a^2 \qquad /+2\cdot b \cdot c \cdot \cos\alpha \\ 2\cdot b \cdot c \cdot \cos\alpha = b^2+c^2 -a^2 \qquad /:( 2\cdot b \cdot c ) \\ \cos\alpha =\displaystyle\frac{b^2+c^2 -a^2}{ 2\cdot b \cdot c}\\ \cos\alpha =\displaystyle\frac{5^2+6^2 -4^2}{ 2\cdot 5 \cdot 6 } \\ \cos\alpha =\frac{3}{4} \\ \alpha=\arccos(\frac{3}{4}) \\ \alpha=41,4^\circ \\ \text{Kosinus-Satz: } b^2=a^2+c^2-2\cdot b \cdot c \cdot \cos\beta \\ b^2=a^2+c^2-2\cdot a \cdot c \cdot \cos\beta \qquad /-b^2 \qquad /+2\cdot a \cdot c \cdot \cos\beta \\ 2\cdot a \cdot c \cdot \cos\beta = a^2+c^2 -b^2 \qquad /:( 2\cdot a \cdot c ) \\ \cos\beta =\displaystyle\frac{a^2+c^2 -b^2}{ 2\cdot a \cdot c}\\ \cos\beta =\displaystyle\frac{4^2+6^2 -5^2}{ 2\cdot 4 \cdot 6 } \\ \cos\beta =\frac{9}{16} \\ \beta=\arccos(\frac{9}{16}) \\ \beta=55,8^\circ \\ \text{Winkelsumme: } \alpha + \beta + \gamma =180^\circ\\ \alpha + \beta + \gamma =180 \qquad /-\alpha \qquad /-\beta \\ \gamma =180^\circ -\alpha -\beta \\ \gamma =180^\circ -41,4^\circ - 55,8^\circ \\ \gamma =82,8^\circ \\ \text{Höhe: } h_a \\ \sin\beta= \displaystyle \frac{h_a}{c} \\ \sin\beta= \displaystyle \frac{h_a}{c} \quad /\cdot c\\ h_a =c \cdot \sin\beta \\ h_a =6 \cdot \sin55,8^\circ \\ h_a=4\frac{49}{51} \\ \text{Flaeche: } \quad A = \frac{1}{2}\cdot a \cdot h_a \\ A = \frac{1}{2}\cdot 4 \cdot 4\frac{49}{51} \\ A=9,92 \\ \text{Höhe: } h_b \\ \sin\gamma= \displaystyle \frac{h_b}{a} \\ \sin\gamma= \displaystyle \frac{h_b}{a} \quad /\cdot a\\ h_b =a \cdot \sin\gamma \\ h_b =4 \cdot \sin82,8^\circ \\ h_b=3,97 \\ \text{Höhe: } h_c \\ \sin\alpha= \displaystyle \frac{h_c}{b} \\ \sin\alpha= \displaystyle \frac{h_c}{b} \quad / \cdot b\\ h_c=b \cdot \sin\alpha \\ h_c=5 \cdot \sin41,4^\circ \\ h_c=3,31 \\ \text{Winkelhalbierende: }\alpha \\ \delta=180-\beta-\frac{\alpha}{2} \\ \text{Sinus-Satz:} \displaystyle \frac{wha}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\delta } \\ \displaystyle \frac{wha}{\sin \beta}=\frac{c}{\sin\delta }\qquad /\cdot \sin\beta \\ wha=\displaystyle\frac{c \cdot \sin\beta}{ \sin\delta } \\ wha =\displaystyle\frac{6\cdot \sin55,8 }{ \sin104} \\ wha=5,1 \\ \text{Winkelhalbierende: }\beta \\ \delta=180-\frac{\beta}{2}-\gamma \\ \text{Sinus-Satz:} \displaystyle \frac{whb}{\sin\gamma}=\frac{a}{\sin\delta } \\ \displaystyle \frac{whb}{\sin \gamma}=\frac{a}{\sin\delta }\qquad /\cdot \sin\gamma \\ whb=\displaystyle\frac{a \cdot \sin\gamma}{ \sin\delta } \\ whb =\displaystyle\frac{4\cdot \sin82,8 }{ \sin69,3} \\ whb=4,24 \\ \text{Winkelhalbierende: }\gamma \\ \delta=180-\alpha-\frac{\gamma}{2} \\ \text{Sinus-Satz:} \displaystyle \frac{whc}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\delta } \\ \displaystyle \frac{whc}{\sin \alpha}=\frac{b}{\sin\delta }\qquad /\cdot \sin\alpha \\ whc=\displaystyle\frac{b \cdot \sin\alpha}{ \sin\delta } \\ whc =\displaystyle\frac{5\cdot \sin41,4 }{ \sin104} \\ whc=2,72 \\ \text{Seitenhalbierende: } \\ s_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2} \\ s_a=\frac{1}{2}\sqrt{2(5^2+6^2)-4^2} \\ s_a=5,15 \\ \text{Seitenhalbierende: } s_b=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}\\ s_b=\frac{1}{2}\sqrt{2(4^2+6^2)-5^2}\\ s_b=4,44 \\ \text{Seitenhalbierende: } s_c=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}\\ s_c=\frac{1}{2}\sqrt{2(4^2+5^2)-6^2}\\ s_c=3,77 \\ \text{Umkreisradius: } 2\cdot r_u= \displaystyle \frac{a}{\sin\alpha} \\ r_u =\displaystyle\frac{a}{2\cdot\sin\alpha} \\ r_u =\displaystyle\frac{4}{2\cdot\sin41,4^\circ} \\ r_u=3,02 \\ \text{Inkreisradius: }r_i= \displaystyle \frac{2 \cdot A}{U} \\ r_i= \displaystyle \frac{2 \cdot 9,92}{15} \\ r_i=1,32 \\$