Beispiel Nr: 07
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= x^2-1\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= x^2-1\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ Scheitel(0/(-1))\\\\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-1);\infty[ \\ \\=(x+1)(x-1)\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= x^2-1 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l|l} \begin{array}{l} \text{Umformen}\\ \hline 1x^2-1 =0 \qquad /+1 \\ 1x^2= 1 \qquad /:1 \\ x^2=\displaystyle\frac{1}{1} \\ x=\pm\sqrt{1} \\ x_1=1 \qquad x_2=-1 \end{array}& \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline \\ 1x^{2}+0x-1 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-0 \pm\sqrt{0^{2}-4\cdot 1 \cdot \left(-1\right)}}{2\cdot1} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-0 \pm\sqrt{4}}{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{0 \pm2}{2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{0 +2}{2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{0 -2}{2} \\ x_{1}=1 \qquad x_{2}=-1 \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ \\ x^{2}+0x-1 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{0}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{0}{2}\right)^2- \left(-1\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle 0\pm\sqrt{1} \\ x_{1/2}=\displaystyle 0\pm1 \\ x_{1}=1 \qquad x_{2}=-1 \end{array}\\ \end{array}\\ \underline{x_1=-1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-1&< x <&1&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-1[\quad \cup \quad]1;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-1;1[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}}$