Beispiel Nr: 17
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= \frac{1}{4}x^2-2\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= \frac{1}{4}x^2-2\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ Scheitel(0/(-2))\\\\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-2);\infty[ \\ \\=\frac{1}{4}(x+2,83)(x-2,83)\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= \frac{1}{4}x^2-2 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l|l} \begin{array}{l} \text{Umformen}\\ \hline \frac{1}{4}x^2-2 =0 \qquad /+2 \\ \frac{1}{4}x^2= 2 \qquad /:\frac{1}{4} \\ x^2=\displaystyle\frac{2}{\frac{1}{4}} \\ x=\pm\sqrt{8} \\ x_1=2,83 \qquad x_2=-2,83 \end{array}& \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline \\ \frac{1}{4}x^{2}+0x-2 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-0 \pm\sqrt{0^{2}-4\cdot \frac{1}{4} \cdot \left(-2\right)}}{2\cdot\frac{1}{4}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-0 \pm\sqrt{2}}{\frac{1}{2}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{0 \pm1,41}{\frac{1}{2}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{0 +1,41}{\frac{1}{2}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{0 -1,41}{\frac{1}{2}} \\ x_{1}=2,83 \qquad x_{2}=-2,83 \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ \frac{1}{4}x^{2}+0x-2 =0 \qquad /:\frac{1}{4} \\ x^{2}+0x-8 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{0}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{0}{2}\right)^2- \left(-8\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle 0\pm\sqrt{8} \\ x_{1/2}=\displaystyle 0\pm2,83 \\ x_{1}=2,83 \qquad x_{2}=-2,83 \end{array}\\ \end{array}\\ \underline{x_1=-2,83; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2,83; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2,83&< x <&2,83&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2,83[\quad \cup \quad]2,83;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2,83;2,83[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}}$