Beispiel Nr: 20
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= x^2-3\frac{1}{2}x+5\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= x^2-3\frac{1}{2}x+5\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=1x^2-3\frac{1}{2}x+5 \\ y=1(x^2-3\frac{1}{2}x+5) \\ y=1(x^2-3\frac{1}{2}x+\left(1\frac{3}{4}\right)^2-\left(1\frac{3}{4}\right)^2+5) \\ y=1[(x-1\frac{3}{4})^2-\left(1\frac{3}{4}\right)^2+5] \\ y=1[(x-1\frac{3}{4})^2-3\frac{1}{16}+5] \\ y=1[(x-1\frac{3}{4})^2+1\frac{15}{16}] \\ y=1(x-1\frac{3}{4})^2+1\frac{15}{16} \\ Scheitel(1\frac{3}{4}/1\frac{15}{16}) \end{array} & \begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline y=1x^2-3\frac{1}{2}x+5 \\ xs=-\frac{-3\frac{1}{2}}{2\cdot 1} \\ xs=1\frac{3}{4} \\ ys=5-\frac{\left(-3\frac{1}{2}\right)^2}{4\cdot1} \\ ys=1\frac{15}{16} \\ Scheitel(1\frac{3}{4}/1\frac{15}{16})\\ y=1(x-1\frac{3}{4})^2+1\frac{15}{16} \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [1\frac{15}{16};\infty[ \\ \\\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= x^2-3\frac{1}{2}x+5 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline 1x^{2}-3\frac{1}{2}x+5 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+3\frac{1}{2} \pm\sqrt{\left(-3\frac{1}{2}\right)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 5}}{2\cdot1}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+3\frac{1}{2} \pm\sqrt{-7\frac{3}{4}}}{2}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ \\ x^{2}-3\frac{1}{2}x+5 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{-3\frac{1}{2}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-3\frac{1}{2}\right)}{2}\right)^2-5} \\ x_{1/2}=\displaystyle 1\frac{3}{4}\pm\sqrt{-1\frac{15}{16}} \\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}\\ \end{array}\\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}}$