Beispiel Nr: 25
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y=-1x^2-8x-14\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y=-1x^2-8x-14\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=-1x^2-8x-14 \\ y=-1(x^2+8x+14) \\ y=-1(x^2+8x+4^2-4^2+14) \\ y=-1[(x+4)^2-4^2+14] \\ y=-1[(x+4)^2-16+14] \\ y=-1[(x+4)^2-2] \\ y=-1(x+4)^2+2 \\ Scheitel(-4/2) \end{array} & \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=-1x^2-8x-14 \\ y=-1(x^2+8x)-14 \\ y=-1(x^2+8x+4^2-4^2)-14 \\ y=-1[(x+4)^2-4^2]-14 \\ y=-1[(x+4)^2-16]-14 \\ y=-1(x+4)^2+16-14 \\ y=-1(x+4)^2+2 \\ Scheitel(-4/2) \end{array} & \begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline y=-1x^2-8x-14 \\ xs=-\frac{-8}{2\cdot \left(-1\right)} \\ xs=-4 \\ ys=-14-\frac{\left(-8\right)^2}{4\cdot\left(-1\right)} \\ ys=2 \\ Scheitel(-4/2)\\ y=-1(x+4)^2+2 \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty;2]\\ \\=-1(x+5,41)(x+2,59)\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y=-1x^2-8x-14 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline \\ -1x^{2}-8x-14 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+8 \pm\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\cdot \left(-1\right) \cdot \left(-14\right)}}{2\cdot\left(-1\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+8 \pm\sqrt{8}}{-2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{8 \pm2,83}{-2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{8 +2,83}{-2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{8 -2,83}{-2} \\ x_{1}=-5,41 \qquad x_{2}=-2,59 \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ -1x^{2}-8x-14 =0 \qquad /:-1 \\ x^{2}+8x+14 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{8}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{8}{2}\right)^2- 14} \\ x_{1/2}=\displaystyle -4\pm\sqrt{2} \\ x_{1/2}=\displaystyle -4\pm1,41 \\ x_{1}=-2,59 \qquad x_{2}=-5,41 \end{array}\\ \end{array}\\ \underline{x_1=-5,41; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-2,59; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-5,41&< x <&-2,59&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-5,41;-2,59[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-5,41[\quad \cup \quad]-2,59;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}}$