Beispiel Nr: 26
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y=-1x^2+8x-17\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y=-1x^2+8x-17\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=-1x^2+8x-17 \\ y=-1(x^2-8x+17) \\ y=-1(x^2-8x+4^2-4^2+17) \\ y=-1[(x-4)^2-4^2+17] \\ y=-1[(x-4)^2-16+17] \\ y=-1[(x-4)^2+1] \\ y=-1(x-4)^2-1 \\ Scheitel(4/-1) \end{array} & \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=-1x^2+8x-17 \\ y=-1(x^2-8x)-17 \\ y=-1(x^2-8x+4^2-4^2)-17 \\ y=-1[(x-4)^2-4^2]-17 \\ y=-1[(x-4)^2-16]-17 \\ y=-1(x-4)^2+16-17 \\ y=-1(x-4)^2-1 \\ Scheitel(4/-1) \end{array} & \begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline y=-1x^2+8x-17 \\ xs=-\frac{8}{2\cdot \left(-1\right)} \\ xs=4 \\ ys=-17-\frac{8^2}{4\cdot\left(-1\right)} \\ ys=-1 \\ Scheitel(4/-1)\\ y=-1(x-4)^2-1 \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty;(-1)]\\ \\\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y=-1x^2+8x-17 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline -1x^{2}+8x-17 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-8 \pm\sqrt{8^{2}-4 \cdot \left(-1\right) \cdot \left(-17\right)}}{2\cdot\left(-1\right)}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-8 \pm\sqrt{-4}}{-2}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ -1x^{2}+8x-17 =0 \qquad /:-1 \\ x^{2}-8x+17 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{-8}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-8\right)}{2}\right)^2-17} \\ x_{1/2}=\displaystyle 4\pm\sqrt{-1} \\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}\\ \end{array}\\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)<0\quad \text{unterhalb der x-Achse}}$