Beispiel Nr: 27
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y=-2x^2-8x\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y=-2x^2-8x\\ \\ \bullet\text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l} \begin{array}{l} y=-2x^2-8x \\ y=-2(x^2+4x) \\ y=-2(x^2+4x+2^2-2^2) \\ y=-2[(x+2)^2-2^2] \\ y=-2[(x+2)^2-4] \\ y=-2(x+2)^2+8 \\ Scheitel(-2/8) \end{array} & \begin{array}{l} y=-2x^2-8x+0 \\ xs=-\frac{-8}{2\cdot \left(-2\right)} \\ xs=-2 \\ ys=0-\frac{\left(-8\right)^2}{4\cdot\left(-2\right)} \\ ys=8 \\ Scheitel(-2/8)\\ y=-2(x+2)^2+8 \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty;8]\\ \\=-2(x+4)x\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y=-2x^2-8x = 0 \\ \begin{array}{l|l|l|l} \begin{array}{l} \text{x-Ausklammern}\\ \hline -2x^{2}-8x =0 \\ x(-2x -8)=0 \\ \\ -2 x-8 =0 \qquad /+8 \\ -2 x= 8 \qquad /:\left(-2\right) \\ x=\displaystyle\frac{8}{-2}\\ x_1=0\\ x_2=-4 \end{array}& \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline \\ -2x^{2}-8x+0 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+8 \pm\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\cdot \left(-2\right) \cdot 0}}{2\cdot\left(-2\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+8 \pm\sqrt{64}}{-4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{8 \pm8}{-4} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{8 +8}{-4} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{8 -8}{-4} \\ x_{1}=-4 \qquad x_{2}=0 \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ -2x^{2}-8x+0 =0 \qquad /:-2 \\ x^{2}+4x+0 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2- 0} \\ x_{1/2}=\displaystyle -2\pm\sqrt{4} \\ x_{1/2}=\displaystyle -2\pm2 \\ x_{1}=0 \qquad x_{2}=-4 \end{array}\\ \end{array}\\ \underline{x_1=-4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-4&< x <&0&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-4;0[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-4[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}}$