Beispiel Nr: 29
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y=-\frac{1}{3}x^2+2x\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y=-\frac{1}{3}x^2+2x\\ \\ \bullet\text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l} \begin{array}{l} y=-\frac{1}{3}x^2+2x \\ y=-\frac{1}{3}(x^2-6x) \\ y=-\frac{1}{3}(x^2-6x+3^2-3^2) \\ y=-\frac{1}{3}[(x-3)^2-3^2] \\ y=-\frac{1}{3}[(x-3)^2-9] \\ y=-\frac{1}{3}(x-3)^2+3 \\ Scheitel(3/3) \end{array} & \begin{array}{l} y=-\frac{1}{3}x^2+2x+0 \\ xs=-\frac{2}{2\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)} \\ xs=3 \\ ys=0-\frac{2^2}{4\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)} \\ ys=3 \\ Scheitel(3/3)\\ y=-\frac{1}{3}(x-3)^2+3 \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty;3]\\ \\=-\frac{1}{3}x(x-6)\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y=-\frac{1}{3}x^2+2x = 0 \\ \begin{array}{l|l|l|l} \begin{array}{l} \text{x-Ausklammern}\\ \hline -\frac{1}{3}x^{2}+2x =0 \\ x(-\frac{1}{3}x +2)=0 \\ \\ -\frac{1}{3} x+2 =0 \qquad /-2 \\ -\frac{1}{3} x= -2 \qquad /:\left(-\frac{1}{3}\right) \\ x=\displaystyle\frac{-2}{-\frac{1}{3}}\\ x_1=0\\ x_2=6 \end{array}& \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline \\ -\frac{1}{3}x^{2}+2x+0 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-2 \pm\sqrt{2^{2}-4\cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \cdot 0}}{2\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm\sqrt{4}}{-\frac{2}{3}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-2 \pm2}{-\frac{2}{3}} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-2 +2}{-\frac{2}{3}} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-2 -2}{-\frac{2}{3}} \\ x_{1}=0 \qquad x_{2}=6 \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ -\frac{1}{3}x^{2}+2x+0 =0 \qquad /:-\frac{1}{3} \\ x^{2}-6x+0 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{-6}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-6\right)}{2}\right)^2- 0} \\ x_{1/2}=\displaystyle 3\pm\sqrt{9} \\ x_{1/2}=\displaystyle 3\pm3 \\ x_{1}=6 \qquad x_{2}=0 \end{array}\\ \end{array}\\ \underline{x_1=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=6; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &0&< x <&6&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]0;6[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;0[\quad \cup \quad]6;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}}$