Beispiel Nr: 30
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= x^2-4x+7\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= x^2-4x+7\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=1x^2-4x+7 \\ y=1(x^2-4x+7) \\ y=1(x^2-4x+2^2-2^2+7) \\ y=1[(x-2)^2-2^2+7] \\ y=1[(x-2)^2-4+7] \\ y=1[(x-2)^2+3] \\ y=1(x-2)^2+3 \\ Scheitel(2/3) \end{array} & \begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline y=1x^2-4x+7 \\ xs=-\frac{-4}{2\cdot 1} \\ xs=2 \\ ys=7-\frac{\left(-4\right)^2}{4\cdot1} \\ ys=3 \\ Scheitel(2/3)\\ y=1(x-2)^2+3 \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [3;\infty[ \\ \\\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= x^2-4x+7 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline 1x^{2}-4x+7 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+4 \pm\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4 \cdot 1 \cdot 7}}{2\cdot1}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+4 \pm\sqrt{-12}}{2}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ \\ x^{2}-4x+7 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-4\right)}{2}\right)^2-7} \\ x_{1/2}=\displaystyle 2\pm\sqrt{-3} \\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}\\ \end{array}\\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}}$