Beispiel Nr: 31
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y=-1x^2+4x-7\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y=-1x^2+4x-7\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=-1x^2+4x-7 \\ y=-1(x^2-4x+7) \\ y=-1(x^2-4x+2^2-2^2+7) \\ y=-1[(x-2)^2-2^2+7] \\ y=-1[(x-2)^2-4+7] \\ y=-1[(x-2)^2+3] \\ y=-1(x-2)^2-3 \\ Scheitel(2/-3) \end{array} & \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=-1x^2+4x-7 \\ y=-1(x^2-4x)-7 \\ y=-1(x^2-4x+2^2-2^2)-7 \\ y=-1[(x-2)^2-2^2]-7 \\ y=-1[(x-2)^2-4]-7 \\ y=-1(x-2)^2+4-7 \\ y=-1(x-2)^2-3 \\ Scheitel(2/-3) \end{array} & \begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline y=-1x^2+4x-7 \\ xs=-\frac{4}{2\cdot \left(-1\right)} \\ xs=2 \\ ys=-7-\frac{4^2}{4\cdot\left(-1\right)} \\ ys=-3 \\ Scheitel(2/-3)\\ y=-1(x-2)^2-3 \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty;(-3)]\\ \\\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y=-1x^2+4x-7 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline -1x^{2}+4x-7 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4 \cdot \left(-1\right) \cdot \left(-7\right)}}{2\cdot\left(-1\right)}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{-12}}{-2}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ -1x^{2}+4x-7 =0 \qquad /:-1 \\ x^{2}-4x+7 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-4\right)}{2}\right)^2-7} \\ x_{1/2}=\displaystyle 2\pm\sqrt{-3} \\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}\\ \end{array}\\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)<0\quad \text{unterhalb der x-Achse}}$