Beispiel Nr: 32
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= 2x^2+4x\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= 2x^2+4x\\ \\ \bullet\text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l} \begin{array}{l} y=2x^2+4x \\ y=2(x^2+2x) \\ y=2(x^2+2x+1^2-1^2) \\ y=2[(x+1)^2-1^2] \\ y=2[(x+1)^2-1] \\ y=2(x+1)^2-2 \\ Scheitel(-1/-2) \end{array} & \begin{array}{l} y=2x^2+4x+0 \\ xs=-\frac{4}{2\cdot 2} \\ xs=-1 \\ ys=0-\frac{4^2}{4\cdot2} \\ ys=-2 \\ Scheitel(-1/-2)\\ y=2(x+1)^2-2 \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-2);\infty[ \\ \\=2(x+2)x\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= 2x^2+4x = 0 \\ \begin{array}{l|l|l|l} \begin{array}{l} \text{x-Ausklammern}\\ \hline 2x^{2}+4x =0 \\ x(2x +4)=0 \\ \\ 2 x+4 =0 \qquad /-4 \\ 2 x= -4 \qquad /:2 \\ x=\displaystyle\frac{-4}{2}\\ x_1=0\\ x_2=-2 \end{array}& \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline \\ 2x^{2}+4x+0 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4\cdot 2 \cdot 0}}{2\cdot2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{16}}{4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm4}{4} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-4 +4}{4} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-4 -4}{4} \\ x_{1}=0 \qquad x_{2}=-2 \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ 2x^{2}+4x+0 =0 \qquad /:2 \\ x^{2}+2x+0 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2- 0} \\ x_{1/2}=\displaystyle -1\pm\sqrt{1} \\ x_{1/2}=\displaystyle -1\pm1 \\ x_{1}=0 \qquad x_{2}=-2 \end{array}\\ \end{array}\\ \underline{x_1=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2&< x <&0&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2[\quad \cup \quad]0;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2;0[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}}$