Beispiel Nr: 38
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y=-1x^2-2x+3\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y=-1x^2-2x+3\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=-1x^2-2x+3 \\ y=-1(x^2+2x-3) \\ y=-1(x^2+2x+1^2-1^2-3) \\ y=-1[(x+1)^2-1^2-3] \\ y=-1[(x+1)^2-1-3] \\ y=-1[(x+1)^2-4] \\ y=-1(x+1)^2+4 \\ Scheitel(-1/4) \end{array} & \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=-1x^2-2x+3 \\ y=-1(x^2+2x)+3 \\ y=-1(x^2+2x+1^2-1^2)+3 \\ y=-1[(x+1)^2-1^2]+3 \\ y=-1[(x+1)^2-1]+3 \\ y=-1(x+1)^2+1+3 \\ y=-1(x+1)^2+4 \\ Scheitel(-1/4) \end{array} & \begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline y=-1x^2-2x+3 \\ xs=-\frac{-2}{2\cdot \left(-1\right)} \\ xs=-1 \\ ys=3-\frac{\left(-2\right)^2}{4\cdot\left(-1\right)} \\ ys=4 \\ Scheitel(-1/4)\\ y=-1(x+1)^2+4 \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty;4]\\ \\=-1(x+3)(x-1)\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y=-1x^2-2x+3 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline \\ -1x^{2}-2x+3 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+2 \pm\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\cdot \left(-1\right) \cdot 3}}{2\cdot\left(-1\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+2 \pm\sqrt{16}}{-2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{2 \pm4}{-2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{2 +4}{-2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{2 -4}{-2} \\ x_{1}=-3 \qquad x_{2}=1 \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ -1x^{2}-2x+3 =0 \qquad /:-1 \\ x^{2}+2x-3 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2- \left(-3\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle -1\pm\sqrt{4} \\ x_{1/2}=\displaystyle -1\pm2 \\ x_{1}=1 \qquad x_{2}=-3 \end{array}\\ \end{array}\\ \underline{x_1=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=1; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x <&1&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3;1[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad \cup \quad]1;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}}$