Beispiel Nr: 39
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= 2x^2+12x+16\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= 2x^2+12x+16\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=2x^2+12x+16 \\ y=2(x^2+6x+8) \\ y=2(x^2+6x+3^2-3^2+8) \\ y=2[(x+3)^2-3^2+8] \\ y=2[(x+3)^2-9+8] \\ y=2[(x+3)^2-1] \\ y=2(x+3)^2-2 \\ Scheitel(-3/-2) \end{array} & \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=2x^2+12x+16 \\ y=2(x^2+6x)+16 \\ y=2(x^2+6x+3^2-3^2)+16 \\ y=2[(x+3)^2-3^2]+16 \\ y=2[(x+3)^2-9]+16 \\ y=2(x+3)^2-18+16 \\ y=2(x+3)^2-2 \\ Scheitel(-3/-2) \end{array} & \begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline y=2x^2+12x+16 \\ xs=-\frac{12}{2\cdot 2} \\ xs=-3 \\ ys=16-\frac{12^2}{4\cdot2} \\ ys=-2 \\ Scheitel(-3/-2)\\ y=2(x+3)^2-2 \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-2);\infty[ \\ \\=2(x+4)(x+2)\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= 2x^2+12x+16 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline \\ 2x^{2}+12x+16 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-12 \pm\sqrt{12^{2}-4\cdot 2 \cdot 16}}{2\cdot2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-12 \pm\sqrt{16}}{4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-12 \pm4}{4} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-12 +4}{4} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-12 -4}{4} \\ x_{1}=-2 \qquad x_{2}=-4 \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ 2x^{2}+12x+16 =0 \qquad /:2 \\ x^{2}+6x+8 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{6}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{6}{2}\right)^2- 8} \\ x_{1/2}=\displaystyle -3\pm\sqrt{1} \\ x_{1/2}=\displaystyle -3\pm1 \\ x_{1}=-2 \qquad x_{2}=-4 \end{array}\\ \end{array}\\ \underline{x_1=-4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=-2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-4&< x <&-2&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-4[\quad \cup \quad]-2;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-4;-2[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}}$