Beispiel Nr: 40
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= \frac{1}{3}x^2-1x+1\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= \frac{1}{3}x^2-1x+1\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=\frac{1}{3}x^2-1x+1 \\ y=\frac{1}{3}(x^2-3x+3) \\ y=\frac{1}{3}(x^2-3x+\left(1\frac{1}{2}\right)^2-\left(1\frac{1}{2}\right)^2+3) \\ y=\frac{1}{3}[(x-1\frac{1}{2})^2-\left(1\frac{1}{2}\right)^2+3] \\ y=\frac{1}{3}[(x-1\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4}+3] \\ y=\frac{1}{3}[(x-1\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}] \\ y=\frac{1}{3}(x-1\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4} \\ Scheitel(1\frac{1}{2}/\frac{1}{4}) \end{array} & \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=\frac{1}{3}x^2-1x+1 \\ y=\frac{1}{3}(x^2-3x)+1 \\ y=\frac{1}{3}(x^2-3x+\left(1\frac{1}{2}\right)^2-\left(1\frac{1}{2}\right)^2)+1 \\ y=\frac{1}{3}[(x-1\frac{1}{2})^2-\left(1\frac{1}{2}\right)^2]+1 \\ y=\frac{1}{3}[(x-1\frac{1}{2})^2-2\frac{1}{4}]+1 \\ y=\frac{1}{3}(x-1\frac{1}{2})^2-\frac{3}{4}+1 \\ y=\frac{1}{3}(x-1\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4} \\ Scheitel(1\frac{1}{2}/\frac{1}{4}) \end{array} & \begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline y=\frac{1}{3}x^2-1x+1 \\ xs=-\frac{-1}{2\cdot \frac{1}{3}} \\ xs=1\frac{1}{2} \\ ys=1-\frac{\left(-1\right)^2}{4\cdot\frac{1}{3}} \\ ys=\frac{1}{4} \\ Scheitel(1\frac{1}{2}/\frac{1}{4})\\ y=\frac{1}{3}(x-1\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4} \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [\frac{1}{4};\infty[ \\ \\\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= \frac{1}{3}x^2-1x+1 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline \frac{1}{3}x^{2}-1x+1 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+1 \pm\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4 \cdot \frac{1}{3} \cdot 1}}{2\cdot\frac{1}{3}}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+1 \pm\sqrt{-\frac{1}{3}}}{\frac{2}{3}}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ \frac{1}{3}x^{2}-1x+1 =0 \qquad /:\frac{1}{3} \\ x^{2}-3x+3 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{-3}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-3\right)}{2}\right)^2-3} \\ x_{1/2}=\displaystyle 1\frac{1}{2}\pm\sqrt{-\frac{3}{4}} \\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}\\ \end{array}\\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}}$