Beispiel Nr: 43
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= 4x^2-2x+1\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= 4x^2-2x+1\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=4x^2-2x+1 \\ y=4(x^2-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}) \\ y=4(x^2-\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{4}) \\ y=4[(x-\frac{1}{4})^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2+\frac{1}{4}] \\ y=4[(x-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}+\frac{1}{4}] \\ y=4[(x-\frac{1}{4})^2+\frac{3}{16}] \\ y=4(x-\frac{1}{4})^2+\frac{3}{4} \\ Scheitel(\frac{1}{4}/\frac{3}{4}) \end{array} & \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=4x^2-2x+1 \\ y=4(x^2-\frac{1}{2}x)+1 \\ y=4(x^2-\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2)+1 \\ y=4[(x-\frac{1}{4})^2-\left(\frac{1}{4}\right)^2]+1 \\ y=4[(x-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{16}]+1 \\ y=4(x-\frac{1}{4})^2-\frac{1}{4}+1 \\ y=4(x-\frac{1}{4})^2+\frac{3}{4} \\ Scheitel(\frac{1}{4}/\frac{3}{4}) \end{array} & \begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline y=4x^2-2x+1 \\ xs=-\frac{-2}{2\cdot 4} \\ xs=\frac{1}{4} \\ ys=1-\frac{\left(-2\right)^2}{4\cdot4} \\ ys=\frac{3}{4} \\ Scheitel(\frac{1}{4}/\frac{3}{4})\\ y=4(x-\frac{1}{4})^2+\frac{3}{4} \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [\frac{3}{4};\infty[ \\ \\\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= 4x^2-2x+1 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline 4x^{2}-2x+1 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{+2 \pm\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4 \cdot 4 \cdot 1}}{2\cdot4}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{+2 \pm\sqrt{-12}}{8}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ 4x^{2}-2x+1 =0 \qquad /:4 \\ x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{4} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{-\frac{1}{2}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)}{2}\right)^2-\frac{1}{4}} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{1}{4}\pm\sqrt{-\frac{3}{16}} \\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}\\ \end{array}\\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}}$