Beispiel Nr: 44
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y=-2x^2+8x-8\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y=-2x^2+8x-8\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=-2x^2+8x-8 \\ y=-2(x^2-4x+4) \\ y=-2(x^2-4x+2^2-2^2+4) \\ y=-2[(x-2)^2-2^2+4] \\ y=-2[(x-2)^2-4+4] \\ y=-2[(x-2)^2+0] \\ y=-2(x-2)^2+0 \\ Scheitel(2/0) \end{array} & \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=-2x^2+8x-8 \\ y=-2(x^2-4x)-8 \\ y=-2(x^2-4x+2^2-2^2)-8 \\ y=-2[(x-2)^2-2^2]-8 \\ y=-2[(x-2)^2-4]-8 \\ y=-2(x-2)^2+8-8 \\ y=-2(x-2)^2+0 \\ Scheitel(2/0) \end{array} & \begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline y=-2x^2+8x-8 \\ xs=-\frac{8}{2\cdot \left(-2\right)} \\ xs=2 \\ ys=-8-\frac{8^2}{4\cdot\left(-2\right)} \\ ys=0 \\ Scheitel(2/0)\\ y=-2(x-2)^2+0 \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty;0]\\ \\\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y=-2x^2+8x-8 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline \\ -2x^{2}+8x-8 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-8 \pm\sqrt{8^{2}-4\cdot \left(-2\right) \cdot \left(-8\right)}}{2\cdot\left(-2\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-8 \pm\sqrt{0}}{-4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-8 \pm0}{-4} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-8 +0}{-4} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-8 -0}{-4} \\ x_{1}=2 \qquad x_{2}=2 \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ -2x^{2}+8x-8 =0 \qquad /:-2 \\ x^{2}-4x+4 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-4\right)}{2}\right)^2- 4} \\ x_{1/2}=\displaystyle 2\pm\sqrt{0} \\ x_{1/2}=\displaystyle 2\pm0 \\ x_{1}=2 \qquad x_{2}=2 \end{array}\\ \end{array}\\ \underline{x_1=2; \quad2\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c||} \hline & x < &2&< x\\ \hline f(x)&-&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;2[\quad \cup \quad]2;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}}$