Beispiel Nr: 45
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y=-1x^2+9\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y=-1x^2+9\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ Scheitel(0/9)\\\\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty;9]\\ \\=-1(x+3)(x-3)\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y=-1x^2+9 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l|l} \begin{array}{l} \text{Umformen}\\ \hline -1x^2+9 =0 \qquad /-9 \\ -1x^2= -9 \qquad /:\left(-1\right) \\ x^2=\displaystyle\frac{-9}{-1} \\ x=\pm\sqrt{9} \\ x_1=3 \qquad x_2=-3 \end{array}& \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline \\ -1x^{2}+0x+9 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-0 \pm\sqrt{0^{2}-4\cdot \left(-1\right) \cdot 9}}{2\cdot\left(-1\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-0 \pm\sqrt{36}}{-2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{0 \pm6}{-2} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{0 +6}{-2} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{0 -6}{-2} \\ x_{1}=-3 \qquad x_{2}=3 \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ -1x^{2}+0x+9 =0 \qquad /:-1 \\ x^{2}+0x-9 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{0}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{0}{2}\right)^2- \left(-9\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle 0\pm\sqrt{9} \\ x_{1/2}=\displaystyle 0\pm3 \\ x_{1}=3 \qquad x_{2}=-3 \end{array}\\ \end{array}\\ \underline{x_1=-3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=3; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-3&< x <&3&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-3;3[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-3[\quad \cup \quad]3;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}}$