Beispiel Nr: 46
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y=-4x^2+24x-32\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y=-4x^2+24x-32\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=-4x^2+24x-32 \\ y=-4(x^2-6x+8) \\ y=-4(x^2-6x+3^2-3^2+8) \\ y=-4[(x-3)^2-3^2+8] \\ y=-4[(x-3)^2-9+8] \\ y=-4[(x-3)^2-1] \\ y=-4(x-3)^2+4 \\ Scheitel(3/4) \end{array} & \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=-4x^2+24x-32 \\ y=-4(x^2-6x)-32 \\ y=-4(x^2-6x+3^2-3^2)-32 \\ y=-4[(x-3)^2-3^2]-32 \\ y=-4[(x-3)^2-9]-32 \\ y=-4(x-3)^2+36-32 \\ y=-4(x-3)^2+4 \\ Scheitel(3/4) \end{array} & \begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline y=-4x^2+24x-32 \\ xs=-\frac{24}{2\cdot \left(-4\right)} \\ xs=3 \\ ys=-32-\frac{24^2}{4\cdot\left(-4\right)} \\ ys=4 \\ Scheitel(3/4)\\ y=-4(x-3)^2+4 \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty;4]\\ \\=-4(x-2)(x-4)\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y=-4x^2+24x-32 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline \\ -4x^{2}+24x-32 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-24 \pm\sqrt{24^{2}-4\cdot \left(-4\right) \cdot \left(-32\right)}}{2\cdot\left(-4\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-24 \pm\sqrt{64}}{-8} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-24 \pm8}{-8} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-24 +8}{-8} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-24 -8}{-8} \\ x_{1}=2 \qquad x_{2}=4 \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ -4x^{2}+24x-32 =0 \qquad /:-4 \\ x^{2}-6x+8 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{-6}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-6\right)}{2}\right)^2- 8} \\ x_{1/2}=\displaystyle 3\pm\sqrt{1} \\ x_{1/2}=\displaystyle 3\pm1 \\ x_{1}=4 \qquad x_{2}=2 \end{array}\\ \end{array}\\ \underline{x_1=2; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=4; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &2&< x <&4&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]2;4[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;2[\quad \cup \quad]4;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}}$