Beispiel Nr: 56
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= 2x^2+4x-4\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= 2x^2+4x-4\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=2x^2+4x-4 \\ y=2(x^2+2x-2) \\ y=2(x^2+2x+1^2-1^2-2) \\ y=2[(x+1)^2-1^2-2] \\ y=2[(x+1)^2-1-2] \\ y=2[(x+1)^2-3] \\ y=2(x+1)^2-6 \\ Scheitel(-1/-6) \end{array} & \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=2x^2+4x-4 \\ y=2(x^2+2x)-4 \\ y=2(x^2+2x+1^2-1^2)-4 \\ y=2[(x+1)^2-1^2]-4 \\ y=2[(x+1)^2-1]-4 \\ y=2(x+1)^2-2-4 \\ y=2(x+1)^2-6 \\ Scheitel(-1/-6) \end{array} & \begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline y=2x^2+4x-4 \\ xs=-\frac{4}{2\cdot 2} \\ xs=-1 \\ ys=-4-\frac{4^2}{4\cdot2} \\ ys=-6 \\ Scheitel(-1/-6)\\ y=2(x+1)^2-6 \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [(-6);\infty[ \\ \\=2(x+2,73)(x-0,732)\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= 2x^2+4x-4 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline \\ 2x^{2}+4x-4 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4\cdot 2 \cdot \left(-4\right)}}{2\cdot2} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{48}}{4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm6,93}{4} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-4 +6,93}{4} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-4 -6,93}{4} \\ x_{1}=0,732 \qquad x_{2}=-2,73 \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ 2x^{2}+4x-4 =0 \qquad /:2 \\ x^{2}+2x-2 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2- \left(-2\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle -1\pm\sqrt{3} \\ x_{1/2}=\displaystyle -1\pm1,73 \\ x_{1}=0,732 \qquad x_{2}=-2,73 \end{array}\\ \end{array}\\ \underline{x_1=-2,73; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=0,732; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-2,73&< x <&0,732&< x\\ \hline f(x)&+&0&-&0&+\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-2,73[\quad \cup \quad]0,732;\infty[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-2,73;0,732[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}}$