Beispiel Nr: 58
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= 3x^2+4x+5\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= 3x^2+4x+5\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=3x^2+4x+5 \\ y=3(x^2+1\frac{1}{3}x+1\frac{2}{3}) \\ y=3(x^2+1\frac{1}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^2-\left(\frac{2}{3}\right)^2+1\frac{2}{3}) \\ y=3[(x+\frac{2}{3})^2-\left(\frac{2}{3}\right)^2+1\frac{2}{3}] \\ y=3[(x+\frac{2}{3})^2-\frac{4}{9}+1\frac{2}{3}] \\ y=3[(x+\frac{2}{3})^2+1\frac{2}{9}] \\ y=3(x+\frac{2}{3})^2+3\frac{2}{3} \\ Scheitel(-\frac{2}{3}/3\frac{2}{3}) \end{array} & \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=3x^2+4x+5 \\ y=3(x^2+1\frac{1}{3}x)+5 \\ y=3(x^2+1\frac{1}{3}x+\left(\frac{2}{3}\right)^2-\left(\frac{2}{3}\right)^2)+5 \\ y=3[(x+\frac{2}{3})^2-\left(\frac{2}{3}\right)^2]+5 \\ y=3[(x+\frac{2}{3})^2-\frac{4}{9}]+5 \\ y=3(x+\frac{2}{3})^2-1\frac{1}{3}+5 \\ y=3(x+\frac{2}{3})^2+3\frac{2}{3} \\ Scheitel(-\frac{2}{3}/3\frac{2}{3}) \end{array} & \begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline y=3x^2+4x+5 \\ xs=-\frac{4}{2\cdot 3} \\ xs=-\frac{2}{3} \\ ys=5-\frac{4^2}{4\cdot3} \\ ys=3\frac{2}{3} \\ Scheitel(-\frac{2}{3}/3\frac{2}{3})\\ y=3(x+\frac{2}{3})^2+3\frac{2}{3} \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [3\frac{2}{3};\infty[ \\ \\\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= 3x^2+4x+5 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline 3x^{2}+4x+5 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4 \cdot 3 \cdot 5}}{2\cdot3}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{-44}}{6}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ 3x^{2}+4x+5 =0 \qquad /:3 \\ x^{2}+1\frac{1}{3}x+1\frac{2}{3} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{1\frac{1}{3}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1\frac{1}{3}}{2}\right)^2-1\frac{2}{3}} \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{2}{3}\pm\sqrt{-1\frac{2}{9}} \\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}\\ \end{array}\\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}}$