Beispiel Nr: 59
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= 3x^2+5x+6\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= 3x^2+5x+6\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=3x^2+5x+6 \\ y=3(x^2+1\frac{2}{3}x+2) \\ y=3(x^2+1\frac{2}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^2-\left(\frac{5}{6}\right)^2+2) \\ y=3[(x+\frac{5}{6})^2-\left(\frac{5}{6}\right)^2+2] \\ y=3[(x+\frac{5}{6})^2-\frac{25}{36}+2] \\ y=3[(x+\frac{5}{6})^2+1\frac{11}{36}] \\ y=3(x+\frac{5}{6})^2+3\frac{11}{12} \\ Scheitel(-\frac{5}{6}/3\frac{11}{12}) \end{array} & \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=3x^2+5x+6 \\ y=3(x^2+1\frac{2}{3}x)+6 \\ y=3(x^2+1\frac{2}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^2-\left(\frac{5}{6}\right)^2)+6 \\ y=3[(x+\frac{5}{6})^2-\left(\frac{5}{6}\right)^2]+6 \\ y=3[(x+\frac{5}{6})^2-\frac{25}{36}]+6 \\ y=3(x+\frac{5}{6})^2-2\frac{1}{12}+6 \\ y=3(x+\frac{5}{6})^2+3\frac{11}{12} \\ Scheitel(-\frac{5}{6}/3\frac{11}{12}) \end{array} & \begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline y=3x^2+5x+6 \\ xs=-\frac{5}{2\cdot 3} \\ xs=-\frac{5}{6} \\ ys=6-\frac{5^2}{4\cdot3} \\ ys=3\frac{11}{12} \\ Scheitel(-\frac{5}{6}/3\frac{11}{12})\\ y=3(x+\frac{5}{6})^2+3\frac{11}{12} \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [3\frac{11}{12};\infty[ \\ \\\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= 3x^2+5x+6 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline 3x^{2}+5x+6 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-5 \pm\sqrt{5^{2}-4 \cdot 3 \cdot 6}}{2\cdot3}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-5 \pm\sqrt{-47}}{6}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ 3x^{2}+5x+6 =0 \qquad /:3 \\ x^{2}+1\frac{2}{3}x+2 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{1\frac{2}{3}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1\frac{2}{3}}{2}\right)^2-2} \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{5}{6}\pm\sqrt{-1\frac{11}{36}} \\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}\\ \end{array}\\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}}$