Beispiel Nr: 60
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= 2x^2+4x+5\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= 2x^2+4x+5\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=2x^2+4x+5 \\ y=2(x^2+2x+2\frac{1}{2}) \\ y=2(x^2+2x+1^2-1^2+2\frac{1}{2}) \\ y=2[(x+1)^2-1^2+2\frac{1}{2}] \\ y=2[(x+1)^2-1+2\frac{1}{2}] \\ y=2[(x+1)^2+1\frac{1}{2}] \\ y=2(x+1)^2+3 \\ Scheitel(-1/3) \end{array} & \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=2x^2+4x+5 \\ y=2(x^2+2x)+5 \\ y=2(x^2+2x+1^2-1^2)+5 \\ y=2[(x+1)^2-1^2]+5 \\ y=2[(x+1)^2-1]+5 \\ y=2(x+1)^2-2+5 \\ y=2(x+1)^2+3 \\ Scheitel(-1/3) \end{array} & \begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline y=2x^2+4x+5 \\ xs=-\frac{4}{2\cdot 2} \\ xs=-1 \\ ys=5-\frac{4^2}{4\cdot2} \\ ys=3 \\ Scheitel(-1/3)\\ y=2(x+1)^2+3 \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [3;\infty[ \\ \\\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= 2x^2+4x+5 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline 2x^{2}+4x+5 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4 \cdot 2 \cdot 5}}{2\cdot2}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{-24}}{4}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ 2x^{2}+4x+5 =0 \qquad /:2 \\ x^{2}+2x+2\frac{1}{2} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{2}{2}\right)^2-2\frac{1}{2}} \\ x_{1/2}=\displaystyle -1\pm\sqrt{-1\frac{1}{2}} \\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}\\ \end{array}\\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}}$