Beispiel Nr: 61
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y=-2x^2+4x+5\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y=-2x^2+4x+5\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=-2x^2+4x+5 \\ y=-2(x^2-2x-2\frac{1}{2}) \\ y=-2(x^2-2x+1^2-1^2-2\frac{1}{2}) \\ y=-2[(x-1)^2-1^2-2\frac{1}{2}] \\ y=-2[(x-1)^2-1-2\frac{1}{2}] \\ y=-2[(x-1)^2-3\frac{1}{2}] \\ y=-2(x-1)^2+7 \\ Scheitel(1/7) \end{array} & \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=-2x^2+4x+5 \\ y=-2(x^2-2x)+5 \\ y=-2(x^2-2x+1^2-1^2)+5 \\ y=-2[(x-1)^2-1^2]+5 \\ y=-2[(x-1)^2-1]+5 \\ y=-2(x-1)^2+2+5 \\ y=-2(x-1)^2+7 \\ Scheitel(1/7) \end{array} & \begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline y=-2x^2+4x+5 \\ xs=-\frac{4}{2\cdot \left(-2\right)} \\ xs=1 \\ ys=5-\frac{4^2}{4\cdot\left(-2\right)} \\ ys=7 \\ Scheitel(1/7)\\ y=-2(x-1)^2+7 \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = ]-\infty;7]\\ \\=-2(x+0,871)(x-2,87)\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y=-2x^2+4x+5 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline \\ -2x^{2}+4x+5 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-4 \pm\sqrt{4^{2}-4\cdot \left(-2\right) \cdot 5}}{2\cdot\left(-2\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm\sqrt{56}}{-4} \\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-4 \pm7,48}{-4} \\ x_{1}=\displaystyle \frac{-4 +7,48}{-4} \qquad x_{2}=\displaystyle \frac{-4 -7,48}{-4} \\ x_{1}=-0,871 \qquad x_{2}=2,87 \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ -2x^{2}+4x+5 =0 \qquad /:-2 \\ x^{2}-2x-2\frac{1}{2} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{-2}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{\left(-2\right)}{2}\right)^2- \left(-2\frac{1}{2}\right)} \\ x_{1/2}=\displaystyle 1\pm\sqrt{3\frac{1}{2}} \\ x_{1/2}=\displaystyle 1\pm1,87 \\ x_{1}=2,87 \qquad x_{2}=-0,871 \end{array}\\ \end{array}\\ \underline{x_1=-0,871; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\\underline{x_2=2,87; \quad1\text{-fache Nullstelle}} \\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c||} \hline & x < &-0,871&< x <&2,87&< x\\ \hline f(x)&-&0&+&0&-\\ \hline \end{array}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-0,871;2,87[\quad f(x)>0 \quad \text{oberhalb der x-Achse}}\\ \\ \underline{\quad x \in ]-\infty;-0,871[\quad \cup \quad]2,87;\infty[\quad f(x)<0 \quad \text{unterhalb der x-Achse}}$