Beispiel Nr: 65
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= 2x^2+3x+4\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= 2x^2+3x+4\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=2x^2+3x+4 \\ y=2(x^2+1\frac{1}{2}x+2) \\ y=2(x^2+1\frac{1}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^2-\left(\frac{3}{4}\right)^2+2) \\ y=2[(x+\frac{3}{4})^2-\left(\frac{3}{4}\right)^2+2] \\ y=2[(x+\frac{3}{4})^2-\frac{9}{16}+2] \\ y=2[(x+\frac{3}{4})^2+1\frac{7}{16}] \\ y=2(x+\frac{3}{4})^2+2\frac{7}{8} \\ Scheitel(-\frac{3}{4}/2\frac{7}{8}) \end{array} & \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=2x^2+3x+4 \\ y=2(x^2+1\frac{1}{2}x)+4 \\ y=2(x^2+1\frac{1}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^2-\left(\frac{3}{4}\right)^2)+4 \\ y=2[(x+\frac{3}{4})^2-\left(\frac{3}{4}\right)^2]+4 \\ y=2[(x+\frac{3}{4})^2-\frac{9}{16}]+4 \\ y=2(x+\frac{3}{4})^2-1\frac{1}{8}+4 \\ y=2(x+\frac{3}{4})^2+2\frac{7}{8} \\ Scheitel(-\frac{3}{4}/2\frac{7}{8}) \end{array} & \begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline y=2x^2+3x+4 \\ xs=-\frac{3}{2\cdot 2} \\ xs=-\frac{3}{4} \\ ys=4-\frac{3^2}{4\cdot2} \\ ys=2\frac{7}{8} \\ Scheitel(-\frac{3}{4}/2\frac{7}{8})\\ y=2(x+\frac{3}{4})^2+2\frac{7}{8} \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [2\frac{7}{8};\infty[ \\ \\\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= 2x^2+3x+4 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline 2x^{2}+3x+4 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-3 \pm\sqrt{3^{2}-4 \cdot 2 \cdot 4}}{2\cdot2}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-3 \pm\sqrt{-23}}{4}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ 2x^{2}+3x+4 =0 \qquad /:2 \\ x^{2}+1\frac{1}{2}x+2 =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{1\frac{1}{2}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1\frac{1}{2}}{2}\right)^2-2} \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{3}{4}\pm\sqrt{-1\frac{7}{16}} \\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}\\ \end{array}\\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}}$