Beispiel Nr: 66
$ \text{Gegeben:} y=ax^2+bx+c \\ \text{Gesucht:} \\ \text{Scheitel und Scheitelform}\\ \text{Definitions- und Wertebereich} \\ \text{Nullstellen - Schnittpunkt mit der x-Achse} \\ \text{Faktorisiere Form} \\ \text{Scheitel} \\ Eigenschaften\\ \textbf{Gegeben:} \\ y= 5x^2+6x+7\\ \\ \textbf{Rechnung:} \\\bullet \text{Funktion} \\ y= 5x^2+6x+7\\ \\ \bullet \text{Scheitelberechnung } \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=5x^2+6x+7 \\ y=5(x^2+1\frac{1}{5}x+1\frac{2}{5}) \\ y=5(x^2+1\frac{1}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^2-\left(\frac{3}{5}\right)^2+1\frac{2}{5}) \\ y=5[(x+\frac{3}{5})^2-\left(\frac{3}{5}\right)^2+1\frac{2}{5}] \\ y=5[(x+\frac{3}{5})^2-\frac{9}{25}+1\frac{2}{5}] \\ y=5[(x+\frac{3}{5})^2+1\frac{1}{25}] \\ y=5(x+\frac{3}{5})^2+5\frac{1}{5} \\ Scheitel(-\frac{3}{5}/5\frac{1}{5}) \end{array} & \begin{array}{l} \text{quadratische Ergänzung } \\ \hline y=5x^2+6x+7 \\ y=5(x^2+1\frac{1}{5}x)+7 \\ y=5(x^2+1\frac{1}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^2-\left(\frac{3}{5}\right)^2)+7 \\ y=5[(x+\frac{3}{5})^2-\left(\frac{3}{5}\right)^2]+7 \\ y=5[(x+\frac{3}{5})^2-\frac{9}{25}]+7 \\ y=5(x+\frac{3}{5})^2-1\frac{4}{5}+7 \\ y=5(x+\frac{3}{5})^2+5\frac{1}{5} \\ Scheitel(-\frac{3}{5}/5\frac{1}{5}) \end{array} & \begin{array}{l} \text{Scheitelformel} \\ \hline y=5x^2+6x+7 \\ xs=-\frac{6}{2\cdot 5} \\ xs=-\frac{3}{5} \\ ys=7-\frac{6^2}{4\cdot5} \\ ys=5\frac{1}{5} \\ Scheitel(-\frac{3}{5}/5\frac{1}{5})\\ y=5(x+\frac{3}{5})^2+5\frac{1}{5} \end{array} \\ \end{array} \\ \\ \\\bullet\text{Definitions- und Wertebereich:}\qquad \mathbb{D} = \mathbb{R} \qquad \mathbb{W} = [5\frac{1}{5};\infty[ \\ \\\\ \\\bullet \text{Nullstellen / Schnittpunkt mit der x-Achse:} \\y= 5x^2+6x+7 = 0 \\ \begin{array}{l|l|l} \begin{array}{l} \text{a-b-c Formel}\\ \hline 5x^{2}+6x+7 =0\\ x_{1/2}=\displaystyle\frac{-6 \pm\sqrt{6^{2}-4 \cdot 5 \cdot 7}}{2\cdot5}\\ x_{1/2}=\displaystyle \frac{-6 \pm\sqrt{-104}}{10}\\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}& \begin{array}{l} \text{p-q Formel}\\ \hline \\ 5x^{2}+6x+7 =0 \qquad /:5 \\ x^{2}+1\frac{1}{5}x+1\frac{2}{5} =0 \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{1\frac{1}{5}}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{1\frac{1}{5}}{2}\right)^2-1\frac{2}{5}} \\ x_{1/2}=\displaystyle -\frac{3}{5}\pm\sqrt{-1\frac{1}{25}} \\ \text{Diskriminante negativ keine Lösung} \end{array}\\ \end{array}\\ \\ \bullet \text{Vorzeichentabelle:} \\\text{kein Vorzeichenwechsel} \\\underline{ x \in \mathbb{R} \qquad f(x)>0\quad \text{oberhalb der x-Achse}}$