Beispiel Nr: 02
$ \text{Gegeben:} \text{Gerade 1: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} a1 \\ a2 \\ a3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b1 \\ b2 \\ b3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gerade 2: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} c1 \\ c2 \\ c3 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} d1 \\ d2 \\ d3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gesucht:} \text{Die Lage der Geraden zueinander.} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Gerade 1: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gerade 2: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Gerade 1: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gerade 2: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \text{Richtungsvektoren: } \\ \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 2 \\ \end{array} \right) =k \cdot \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \begin{array}{cccc} 3&=&+3 k& \quad /:3 \quad \Rightarrow k=1 \\ -4&=&-4 k & \quad /:-4 \quad \Rightarrow k=1 \\ 2&=&+2 k & \quad /:2 \quad \Rightarrow k=1 \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Geraden sind parallel}\\ \text{Aufpunkt von Gerade 2 in Gerade 1 } \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 3 \\ -4 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }A(1/-1/2) \\ \begin{array}{ccccc} 1&=&1&+3\lambda& \quad /-1 \\ -1&=&-1&-4\lambda & \quad /+1\\ 2&=&2&+2\lambda & \quad /-2\\ \end{array} \\ \begin{array}{cccc} 0&=&3\lambda& \quad /:3 \quad \Rightarrow \lambda=0 \\ 0&=&-4\lambda & \quad /:-4 \quad \Rightarrow \lambda=0 \\ 0&=&2\lambda & \quad /:2 \quad \Rightarrow \lambda=0 \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \\ \text{ Geraden sind identisch} \\ $