Beispiel Nr: 05
$ \text{Gegeben:} \text{Gerade 1: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} a1 \\ a2 \\ a3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b1 \\ b2 \\ b3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gerade 2: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} c1 \\ c2 \\ c3 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} d1 \\ d2 \\ d3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gesucht:} \text{Die Lage der Geraden zueinander.} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Gerade 1: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -5 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gerade 2: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 3 \\ \end{array} \right) \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Gerade 1: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -5 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gerade 2: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Richtungsvektoren: } \\ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -5 \\ \end{array} \right) =k \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 3 \\ \end{array} \right) \\ \begin{array}{cccc} 2&=&+4 k& \quad /:4 \quad \Rightarrow k=\frac{1}{2} \\ 3&=&+4 k & \quad /:4 \quad \Rightarrow k=\frac{3}{4} \\ -5&=&+3 k & \quad /:3 \quad \Rightarrow k=-1\frac{2}{3} \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Geraden sind nicht parallel} \\ \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -5 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 3 \\ \end{array} \right) \\ \begin{array}{cccccc} 1& +2\lambda &=& 1& +4\sigma& \quad /-1 \quad /-4 \sigma\\ 1& +3\lambda &=& 1& +4 \sigma& \quad /-1 \quad /-4 \sigma\\ 1& -5\lambda &=& 1& +3 \sigma& \quad /-1 \quad /-3 \sigma\\ \end{array} \\ \\I \qquad 2 \lambda -4 \sigma =0\\ II \qquad 3 \lambda -4 \sigma = 0 \\ III \qquad -5 \lambda +3 \sigma = 0 \\ \\ \text{Aus 2 Gleichungen }\lambda \text{ und } \sigma \text{ berechnen } \\ I \qquad 2 \lambda -4 \sigma =0 \qquad / \cdot3\\ II \qquad 3 \lambda -4 \sigma = 0 \qquad / \cdot\left(-2\right)\\ I \qquad 6 \lambda -12 \sigma =0\\ II \qquad -6 \lambda +8 \sigma = 0 \\ \text{I + II}\\ I \qquad 6 \lambda -6 \lambda-12 \sigma +8 \sigma =0 +0\\ -4 \sigma = 0 \qquad /:\left(-4\right) \\ \sigma = \frac{0}{-4} \\ \sigma=0 \\ \sigma \text{ in I}\\ I \qquad 6 \lambda -12 \cdot 0 =0 \\ 6 \lambda +0 =0 \qquad / -0 \\ 6 \lambda =0 -0 \\ 6 \lambda =0 \qquad / :6 \\ \lambda = \frac{0}{6} \\ \lambda=0 \\ \lambda \text{ und } \sigma \text{ in die verbleibende Gleichung einsetzen} \\ III \quad 1+0\cdot\left(-5\right)=1+0\cdot3 \\ 1=1 \\ \lambda \text{ oder } \sigma \text{ in die Geradengleichung einsetzen} \\ \\ \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) +0 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -5 \\ \end{array} \right) \\ \text{Schnittpunkt: }S(1,1,1) \\ \\ $