Beispiel Nr: 13
$ \text{Gegeben:} \text{Gerade 1: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} a1 \\ a2 \\ a3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b1 \\ b2 \\ b3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gerade 2: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} c1 \\ c2 \\ c3 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} d1 \\ d2 \\ d3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gesucht:} \text{Die Lage der Geraden zueinander.} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Gerade 1: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gerade 2: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 4 \\ -4 \\ -2 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} -4 \\ 6 \\ -2 \\ \end{array} \right) \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Gerade 1: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gerade 2: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 4 \\ -4 \\ -2 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} -4 \\ 6 \\ -2 \\ \end{array} \right) \\ \text{Richtungsvektoren: } \\ \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 1 \\ \end{array} \right) =k \cdot \left( \begin{array}{c} -4 \\ 6 \\ -2 \\ \end{array} \right) \\ \begin{array}{cccc} 2&=&-4 k& \quad /:-4 \quad \Rightarrow k=-\frac{1}{2} \\ -3&=&+6 k & \quad /:6 \quad \Rightarrow k=-\frac{1}{2} \\ 1&=&-2 k & \quad /:-2 \quad \Rightarrow k=-\frac{1}{2} \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Geraden sind parallel}\\ \text{Aufpunkt von Gerade 2 in Gerade 1 } \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }A(4/-4/-2) \\ \begin{array}{ccccc} 4&=&1&+2\lambda& \quad /-1 \\ -4&=&0&-3\lambda & \quad /-0\\ -2&=&3&+1\lambda & \quad /-3\\ \end{array} \\ \begin{array}{cccc} 3&=&2\lambda& \quad /:2 \quad \Rightarrow \lambda=1\frac{1}{2} \\ -4&=&-3\lambda & \quad /:-3 \quad \Rightarrow \lambda=1\frac{1}{3} \\ -5&=&1\lambda & \quad /:1 \quad \Rightarrow \lambda=-5 \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \\ \text{Geraden sind echt parallel} \\ $