Beispiel Nr: 14
$ \text{Gegeben:} \text{Gerade 1: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} a1 \\ a2 \\ a3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b1 \\ b2 \\ b3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gerade 2: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} c1 \\ c2 \\ c3 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} d1 \\ d2 \\ d3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gesucht:} \text{Die Lage der Geraden zueinander.} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Gerade 1: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gerade 2: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ -2 \\ \end{array} \right) \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Gerade 1: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gerade 2: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \\ 5 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ -2 \\ \end{array} \right) \\ \text{Richtungsvektoren: } \\ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -1 \\ \end{array} \right) =k \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ -2 \\ \end{array} \right) \\ \begin{array}{cccc} 2&=&+4 k& \quad /:4 \quad \Rightarrow k=\frac{1}{2} \\ 0&=&+0 k & \quad /:0 \quad \Rightarrow k=NaN \\ -1&=&-2 k & \quad /:-2 \quad \Rightarrow k=\frac{1}{2} \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Geraden sind parallel}\\ \text{Aufpunkt von Gerade 2 in Gerade 1 } \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 0 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }A(3/4/5) \\ \begin{array}{ccccc} 3&=&1&+2\lambda& \quad /-1 \\ 4&=&3&+0\lambda & \quad /-3\\ 5&=&0&-1\lambda & \quad /-0\\ \end{array} \\ \begin{array}{cccc} 2&=&2\lambda& \quad /:2 \quad \Rightarrow \lambda=1 \\ 1&=&0\lambda & \quad /:0 \quad \Rightarrow \lambda=∞ \\ 5&=&-1\lambda & \quad /:-1 \quad \Rightarrow \lambda=-5 \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \\ \text{Geraden sind echt parallel} \\ $