Beispiel Nr: 01
$ \text{Gegeben:} \\ \text{Ebene: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} a1 \\ a2 \\ a3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b1 \\ b2 \\ b3 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} c1 \\ c2 \\ c3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gesucht:} \text{Ebene in Koordinatenform: } n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3+k=0 \\ \\ \text{Vektorprodukt}\\ \textbf{Gegeben:} \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 2 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ -9 \\ \end{array} \right)+ \sigma \left( \begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ 8 \\ \end{array} \right) \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 2 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ -9 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ 8 \\ \end{array} \right) \\ \text{Vektorprodukt:} \\ \vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}= \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ -9 \\ \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ -3 \\ 8 \\ \end{array} \right) \\= \left( \begin{array}{c} 4 \cdot8-\left(-9\right)\cdot\left(-3\right) \\ -9\cdot0-8\cdot0 \\ 0\cdot\left(-3\right)-4\cdot0 \\ \end{array} \right) \\ \vec{n} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) \\ \text{Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen. } \\ 5 x_1+0 x_2+0 x_3+k=0 \\ \text{Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen. } \\ 5 \cdot 0 +0 \cdot -2+0\cdot 0+k=0 \\ k=0 \\ \text{Koordinatenform} \\ 5 x_1+0 x_2+0 x_3+0=0 \\ \\ 5 x_1 = 0 \\ \text{Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF} \\ 5 x_1+0 x_2+0 x_3+0=0 \\ \vec{n} = \left( \begin{array}{c} 5 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array} \right) \\ \text{Länge des Normalenvektors} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{5^2+0^2+0^2} \\ \left|\vec{n}\right| =5 \\ \text{HNF:} \dfrac{5 x_1+0 x_2+0 x_3+0}{5}=0 \\ \\ $