Beispiel Nr: 07
$ \text{Gegeben:} \\ \text{Ebene: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} a1 \\ a2 \\ a3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b1 \\ b2 \\ b3 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} c1 \\ c2 \\ c3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Gesucht:} \text{Ebene in Koordinatenform: } n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3+k=0 \\ \\ \text{Vektorprodukt}\\ \textbf{Gegeben:} \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ -3 \\ \end{array} \right)+ \sigma \left( \begin{array}{c} -5 \\ 6 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 0 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ -3 \\ \end{array} \right) + \sigma \left( \begin{array}{c} -5 \\ 6 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \text{Vektorprodukt:} \\ \vec{n} = \vec{b} \times \vec{c}= \left( \begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ -3 \\ \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -5 \\ 6 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\= \left( \begin{array}{c} -2 \cdot2-\left(-3\right)\cdot6 \\ -3\cdot\left(-5\right)-2\cdot4 \\ 4\cdot6-\left(-2\right)\cdot\left(-5\right) \\ \end{array} \right) \\ \vec{n} = \left( \begin{array}{c} 14 \\ 7 \\ 14 \\ \end{array} \right) \\ \text{Normalenvektor in die Koordinatenform einsetzen. } \\ 14 x_1+7 x_2+14 x_3+k=0 \\ \text{Aufpunkt in die Koordinatenform einsetzen. } \\ 14 \cdot 0 +7 \cdot 5+14\cdot 0+k=0 \\ k=-35 \\ \text{Koordinatenform} \\ 14 x_1+7 x_2+14 x_3-35=0 \\ \\ 14 x_1 +7 x_2 +14 x_3 -35 = 0 \\ \text{Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF} \\ 14 x_1+7 x_2+14 x_3-35=0 \\ \vec{n} = \left( \begin{array}{c} 14 \\ 7 \\ 14 \\ \end{array} \right) \\ \text{Länge des Normalenvektors} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{14^2+7^2+14^2} \\ \left|\vec{n}\right| =21 \\ \text{HNF:} \dfrac{14 x_1+7 x_2+14 x_3-35}{21}=0 \\ \\ $