Beispiel Nr: 03
$\text{Gegeben:}\\ \text{Punkt: }A(a1/a2/a3) \\ \text{Ebene: } n1 x_1+n2 x_2+n3 x_3+c1=0 \\ \\ \text{Gesucht:} \\\text{Lagebeziehung Punkt - Ebene} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Punkt: }A(2/4/6) \\ \text{Ebene: } 7 x_1+8 x_2+9 x_3-7=0 \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Punkt: }A(2/4/6) \\ \text{Ebene: } 7 x_1+8 x_2+9 x_3-7=0 \\ 7\cdot2 +8\cdot4 +9\cdot6-7=0 \\ 93=0 \\ \text{Punkt liegt nicht in der Ebene} \\ \text{Abstand des Punktes von der Ebene} \\ \text{Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF} \\ 7 x_1+8 x_2+9 x_3-7=0 \\ \vec{n} = \left( \begin{array}{c} 7 \\ 8 \\ 9 \\ \end{array} \right) \\ \text{Länge des Normalenvektors} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{7^2+8^2+9^2} \\ \left|\vec{n}\right| =13,9 \\ \text{ HNF:} \\ \dfrac{7 x_1+8 x_2+9 x_3-7}{13,9}=0 \\ \text{Punkt in HNF:} \\ d=|\dfrac{7\cdot2 +8\cdot4 +9\cdot6-7}{13,9 }|\\ d=|6,68| \\ d=6,68 \\ $