Beispiel Nr: 04
$\text{Gegeben:}\\ \text{Punkt: }A(a1/a2/a3) \\ \text{Ebene: } n1 x_1+n2 x_2+n3 x_3+c1=0 \\ \\ \text{Gesucht:} \\\text{Lagebeziehung Punkt - Ebene} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Punkt: }A(1/2/0) \\ \text{Ebene: } -1 x_1-3 x_2+1 x_3-6=0 \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Punkt: }A(1/2/0) \\ \text{Ebene: } -1 x_1-3 x_2+1 x_3-6=0 \\ -1\cdot1 -3\cdot2 +1\cdot0-6=0 \\ -13=0 \\ \text{Punkt liegt nicht in der Ebene} \\ \text{Abstand des Punktes von der Ebene} \\ \text{Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF} \\ -1 x_1-3 x_2+1 x_3-6=0 \\ \vec{n} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\ \text{Länge des Normalenvektors} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{\left(-1\right)^2+\left(-3\right)^2+1^2} \\ \left|\vec{n}\right| =3,32 \\ \text{ HNF:} \\ \dfrac{-1 x_1-3 x_2+1 x_3-6}{3,32}=0 \\ \text{Punkt in HNF:} \\ d=|\dfrac{-1\cdot1 -3\cdot2 +1\cdot0-6}{3,32 }|\\ d=|-3,92| \\ d=3,92 \\ $