Beispiel Nr: 05
$\text{Gegeben:}\\ \text{Punkt: }A(a1/a2/a3) \\ \text{Ebene: } n1 x_1+n2 x_2+n3 x_3+c1=0 \\ \\ \text{Gesucht:} \\\text{Lagebeziehung Punkt - Ebene} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Punkt: }A(4/5/4) \\ \text{Ebene: } 6 x_1+7 x_2+6 x_3+5=0 \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Punkt: }A(4/5/4) \\ \text{Ebene: } 6 x_1+7 x_2+6 x_3+5=0 \\ 6\cdot4 +7\cdot5 +6\cdot4+5=0 \\ 88=0 \\ \text{Punkt liegt nicht in der Ebene} \\ \text{Abstand des Punktes von der Ebene} \\ \text{Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF} \\ 6 x_1+7 x_2+6 x_3+5=0 \\ \vec{n} = \left( \begin{array}{c} 6 \\ 7 \\ 6 \\ \end{array} \right) \\ \text{Länge des Normalenvektors} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{6^2+7^2+6^2} \\ \left|\vec{n}\right| =11 \\ \text{ HNF:} \\ \dfrac{6 x_1+7 x_2+6 x_3+5}{-11}=0 \\ \text{Punkt in HNF:} \\ d=|\dfrac{6\cdot4 +7\cdot5 +6\cdot4+5}{-11 }|\\ d=|-8| \\ d=8 \\ $