Beispiel Nr: 06
$\text{Gegeben:}\\ \text{Punkt: }A(a1/a2/a3) \\ \text{Ebene: } n1 x_1+n2 x_2+n3 x_3+c1=0 \\ \\ \text{Gesucht:} \\\text{Lagebeziehung Punkt - Ebene} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Punkt: }A(3/-2/2) \\ \text{Ebene: } 1 x_1-1 x_2+2 x_3+1=0 \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Punkt: }A(3/-2/2) \\ \text{Ebene: } 1 x_1-1 x_2+2 x_3+1=0 \\ 1\cdot3 -1\cdot\left(-2\right) +2\cdot2+1=0 \\ 10=0 \\ \text{Punkt liegt nicht in der Ebene} \\ \text{Abstand des Punktes von der Ebene} \\ \text{Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF} \\ 1 x_1-1 x_2+2 x_3+1=0 \\ \vec{n} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\ \text{Länge des Normalenvektors} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2+2^2} \\ \left|\vec{n}\right| =2,45 \\ \text{ HNF:} \\ \dfrac{1 x_1-1 x_2+2 x_3+1}{-2,45}=0 \\ \text{Punkt in HNF:} \\ d=|\dfrac{1\cdot3 -1\cdot\left(-2\right) +2\cdot2+1}{-2,45 }|\\ d=|-4,08| \\ d=4,08 \\ $