Beispiel Nr: 07
$\text{Gegeben:}\\ \text{Punkt: }A(a1/a2/a3) \\ \text{Ebene: } n1 x_1+n2 x_2+n3 x_3+c1=0 \\ \\ \text{Gesucht:} \\\text{Lagebeziehung Punkt - Ebene} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Punkt: }A(1/3/-1) \\ \text{Ebene: } 3 x_1+2 x_2+3 x_3+1=0 \\ \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Punkt: }A(1/3/-1) \\ \text{Ebene: } 3 x_1+2 x_2+3 x_3+1=0 \\ 3\cdot1 +2\cdot3 +3\cdot\left(-1\right)+1=0 \\ 7=0 \\ \text{Punkt liegt nicht in der Ebene} \\ \text{Abstand des Punktes von der Ebene} \\ \text{Koordinatenform in Hessesche Normalenform HNF} \\ 3 x_1+2 x_2+3 x_3+1=0 \\ \vec{n} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Länge des Normalenvektors} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{n_1^2+n_2^2+n_3^2} \\ \left|\vec{n}\right| =\sqrt{3^2+2^2+3^2} \\ \left|\vec{n}\right| =4,69 \\ \text{ HNF:} \\ \dfrac{3 x_1+2 x_2+3 x_3+1}{-4,69}=0 \\ \text{Punkt in HNF:} \\ d=|\dfrac{3\cdot1 +2\cdot3 +3\cdot\left(-1\right)+1}{-4,69 }|\\ d=|-1,49| \\ d=1,49 \\ $