Beispiel Nr: 01
$\text{Gegeben:} \vec{x} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(c_1/c_2/c_3) \\ \text{Gesucht:} \text{Liegt der Punkt auf der Geraden} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Gerade: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 4 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 2 \\ 7 \\ 5 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(3/11/9) \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Punkt - Gerade } \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 4 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 2 \\ 7 \\ 5 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(3,11,9) \\ \begin{array}{ccccc} 3&=&1&+2\lambda& \quad /-1 \\ 11&=&4&+7\lambda & \quad /-4\\ 9&=&4&+5\lambda & \quad /-4\\ \end{array} \\ \begin{array}{cccc} 2&=&2\lambda& \quad /:2 \quad \Rightarrow \lambda=1 \\ 7&=&7\lambda & \quad /:7 \quad \Rightarrow \lambda=1 \\ 5&=&5\lambda & \quad /:5 \quad \Rightarrow \lambda=1 \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Punkt liegt auf der Geraden} $