Beispiel Nr: 03
$\text{Gegeben:} \vec{x} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(c_1/c_2/c_3) \\ \text{Gesucht:} \text{Liegt der Punkt auf der Geraden} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Gerade: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 2 \\ 10 \\ 4 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(3/0/7) \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Punkt - Gerade } \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 2 \\ 10 \\ 4 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(3,0,7) \\ \begin{array}{ccccc} 3&=&1&+2\lambda& \quad /-1 \\ 0&=&3&+10\lambda & \quad /-3\\ 7&=&3&+4\lambda & \quad /-3\\ \end{array} \\ \begin{array}{cccc} 2&=&2\lambda& \quad /:2 \quad \Rightarrow \lambda=1 \\ -3&=&10\lambda & \quad /:10 \quad \Rightarrow \lambda=-\frac{3}{10} \\ 4&=&4\lambda & \quad /:4 \quad \Rightarrow \lambda=1 \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Punkt liegt nicht auf der Geraden} \\ \text{Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. } \\ \text{Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. } \\ 2 x_1+10 x_2+4 x_3+k=0 \\ \text{ C ist Punkt in der Ebene } \\ 2 \cdot 3 +10 \cdot 0+4\cdot 3+k=0 \\ k=-34 \\ \text{Koordinatenform} \\ 2 x_1+10 x_2+4 x_3-34=0 \\ 2 x_1 +10 x_2 +4 x_3 -34 = 0 \\ \text{Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. } \\ \begin{array}{ccc} x_1=& 1 &+2\lambda \\ x_2=&3 &+10\lambda \\ x_3=&3 &+4\lambda \\ \end{array} \\ 2( 1+2\lambda) +10(3+10\lambda) +4 (3+4\lambda)-34=0 \\ 120\lambda+10=0 \\ \lambda=\frac{-10}{120} \\ \lambda= -\frac{1}{12} \\ \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ 3 \\ \end{array} \right) -\frac{1}{12} \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 10 \\ 4 \\ \end{array} \right) \\ \text{Lotfußpunkt: } L(\frac{5}{6},2\frac{1}{6},2\frac{2}{3}) \\ \vec{CL} =\left( \begin{array}{c} 120-3 \\ 10-0 \\ -\frac{1}{12}-7 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -2\frac{1}{6} \\ 2\frac{1}{6} \\ -4\frac{1}{3} \\ \end{array} \right) \\ \text{Abstand Punkt Gerade} \\ \left|\vec{CL}\right| =\sqrt{\left(-2\frac{1}{6}\right)^2+\left(2\frac{1}{6}\right)^2+\left(-4\frac{1}{3}\right)^2} \\ \left|\vec{AB}\right| =5,31 \\ $