Beispiel Nr: 04
$\text{Gegeben:} \vec{x} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(c_1/c_2/c_3) \\ \text{Gesucht:} \text{Liegt der Punkt auf der Geraden} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Gerade: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 6 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 7 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(8/8/0) \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Punkt - Gerade } \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 6 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 7 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(8,8,0) \\ \begin{array}{ccccc} 8&=&3&+4\lambda& \quad /-3 \\ 8&=&5&+0\lambda & \quad /-5\\ 0&=&6&+7\lambda & \quad /-6\\ \end{array} \\ \begin{array}{cccc} 5&=&4\lambda& \quad /:4 \quad \Rightarrow \lambda=1\frac{1}{4} \\ 3&=&0\lambda & \quad /:0 \quad \Rightarrow \lambda=∞ \\ -6&=&7\lambda & \quad /:7 \quad \Rightarrow \lambda=-\frac{6}{7} \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Punkt liegt nicht auf der Geraden} \\ \text{Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. } \\ \text{Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. } \\ 4 x_1+0 x_2+7 x_3+k=0 \\ \text{ C ist Punkt in der Ebene } \\ 4 \cdot 8 +0 \cdot 8+7\cdot 8+k=0 \\ k=-32 \\ \text{Koordinatenform} \\ 4 x_1+0 x_2+7 x_3-32=0 \\ 4 x_1 +7 x_3 -32 = 0 \\ \text{Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. } \\ \begin{array}{ccc} x_1=& 3 &+4\lambda \\ x_2=&5 &+0\lambda \\ x_3=&6 &+7\lambda \\ \end{array} \\ 4( 3+4\lambda) +0(5+0\lambda) +7 (6+7\lambda)-32=0 \\ 65\lambda+22=0 \\ \lambda=\frac{-22}{65} \\ \lambda= -\frac{22}{65} \\ \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 6 \\ \end{array} \right) -\frac{22}{65} \cdot \left( \begin{array}{c} 4 \\ 0 \\ 7 \\ \end{array} \right) \\ \text{Lotfußpunkt: } L(1\frac{42}{65},5,3\frac{41}{65}) \\ \vec{CL} =\left( \begin{array}{c} 65-8 \\ 22-8 \\ -\frac{22}{65}-0 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -6\frac{23}{65} \\ -3 \\ 3\frac{41}{65} \\ \end{array} \right) \\ \text{Abstand Punkt Gerade} \\ \left|\vec{CL}\right| =\sqrt{\left(-6\frac{23}{65}\right)^2+\left(-3\right)^2+\left(3\frac{41}{65}\right)^2} \\ \left|\vec{AB}\right| =7,91 \\ $