Beispiel Nr: 05
$\text{Gegeben:} \vec{x} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(c_1/c_2/c_3) \\ \text{Gesucht:} \text{Liegt der Punkt auf der Geraden} \\ \\ \textbf{Gegeben:} \\ \text{Gerade: } \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 6 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \\ -4 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(5/7/2) \\ \\ \textbf{Rechnung:} \\ \text{Punkt - Gerade } \\ \vec{x} =\left( \begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 6 \\ \end{array} \right) + \lambda \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \\ -4 \\ \end{array} \right) \\ \text{Punkt: }C(5,7,2) \\ \begin{array}{ccccc} 5&=&3&-4\lambda& \quad /-3 \\ 7&=&5&+1\lambda & \quad /-5\\ 2&=&6&-4\lambda & \quad /-6\\ \end{array} \\ \begin{array}{cccc} 2&=&-4\lambda& \quad /:-4 \quad \Rightarrow \lambda=-\frac{1}{2} \\ 2&=&1\lambda & \quad /:1 \quad \Rightarrow \lambda=2 \\ -4&=&-4\lambda & \quad /:-4 \quad \Rightarrow \lambda=1 \\ \end{array} \\ \\ \Rightarrow \text{Punkt liegt nicht auf der Geraden} \\ \text{Lotfußpunkt und Abstand des Punktes berechnen. } \\ \text{Richtungsvektor der Geraden = Normalenvektor der Ebene. } \\ -4 x_1+1 x_2-4 x_3+k=0 \\ \text{ C ist Punkt in der Ebene } \\ -4 \cdot 5 +1 \cdot 7-4\cdot 5+k=0 \\ k=21 \\ \text{Koordinatenform} \\ -4 x_1+1 x_2-4 x_3+21=0 \\ -4 x_1 +1 x_2 -4 x_3 +21 = 0 \\ \text{Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zwischen Gerade und Ebene. } \\ \begin{array}{ccc} x_1=& 3 &-4\lambda \\ x_2=&5 &+1\lambda \\ x_3=&6 &-4\lambda \\ \end{array} \\ -4( 3-4\lambda) +1(5+1\lambda) -4 (6-4\lambda)+21=0 \\ 33\lambda-10=0 \\ \lambda=\frac{+10}{33} \\ \lambda= \frac{10}{33} \\ \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 5 \\ 6 \\ \end{array} \right) +\frac{10}{33} \cdot \left( \begin{array}{c} -4 \\ 1 \\ -4 \\ \end{array} \right) \\ \text{Lotfußpunkt: } L(1\frac{26}{33},5\frac{10}{33},4\frac{26}{33}) \\ \vec{CL} =\left( \begin{array}{c} 33-5 \\ -10-7 \\ \frac{10}{33}-2 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -3\frac{7}{33} \\ -1\frac{23}{33} \\ 2\frac{26}{33} \\ \end{array} \right) \\ \text{Abstand Punkt Gerade} \\ \left|\vec{CL}\right| =\sqrt{\left(-3\frac{7}{33}\right)^2+\left(-1\frac{23}{33}\right)^2+\left(2\frac{26}{33}\right)^2} \\ \left|\vec{AB}\right| =4,58 \\ $